Ациклдік модель - Acyclic model

Жылы алгебралық топология, ішіндегі тәртіп математика, ациклді модельдер теоремасы осы екеуін көрсету үшін қолдануға болады гомология теориялары болып табылады изоморфты. The теорема топологтар жасаған Сэмюэль Эйленберг және Сондерс МакЛейн.[1] Олар топологтар әртүрлі гомология теорияларының эквиваленттілігін анықтайтын дәлелдер жазып жатқан кезде, процестерде көптеген ұқсастықтар болғанын анықтады. Содан кейін Эйленберг пен МакЛейн бұл процесті қорытуға арналған теореманы ашты.

Мұны дәлелдеу үшін қолдануға болады Эйленберг - Зильбер теоремасы; бұл идеясына әкеледі модель категориясы.

Теореманың тұжырымы

Келіңіздер ерікті болу санат және тізбекті кешендерінің санаты болуы -модульдер сақина үстінде . Келіңіздер болуы ковариантты функционалдар осылай:

  • үшін .
  • Сонда үшін осындай негізі бар , сондықтан Бұл еркін функция.
  • болып табылады - және - бұл модельдерде циклді, бұл дегеніміз барлығына және бәрі .

Содан кейін келесі тұжырымдар орындалады:[2][3]

  • Әрқайсысы табиғи трансформация табиғи тізбектің картасын шығарады .
  • Егер табиғи түрленулер, бұл бұрынғыдай табиғи тізбекті карталар және барлық модельдер үшін , содан кейін арасында табиғи тізбекті гомотопия бар және .
  • Атап айтқанда тізбек картасы табиғиға қарағанда ерекше тізбекті гомотопия.

Жалпылау

Проективті және ациклді кешендер

Жоғарыда айтылғандар теореманың алғашқы нұсқаларының бірі. Тағы бір нұсқасы - бұл егер ішіндегі жобалар кешені абель санаты және бұл санаттағы ацикликомплекс, содан кейін кез-келген карта тізбекті картаға дейін созылады , біртектес тотомотопия.

Бұл функциялар категориясын қолданатын болса, бұл жоғарыда аталған теоремаға мамандандырылған абель категориясы ретінде Еркін функционалдар - бұл санаттағы проективті объектілер. Функтор санатындағы морфизмдер табиғи түрлендірулер болып табылады, сондықтан салынған тізбекті карталар мен гомотоптар табиғи болып табылады. Айырмашылық жоғарыда келтірілген нұсқада, ациклді болу - бұл белгілі бір объектілерде ғана ациклді болудан гөрі күшті болжам.

Екінші жағынан, жоғарыда келтірілген нұсқа осы нұсқаны жол беру арқылы білдіреді бір ғана объектісі бар категория. Сонда еркін функция бұл негізінен тек ақысыз (демек, проективті) модуль. Үлгілерде ациклді болу (тек біреуі ғана) кешеннен басқа ештеңе білдірмейді ациклді.

Ациклді сабақтар

Жоғарыда айтылғандардың екеуін де біріктіретін үлкен теорема бар.[4][5] Келіңіздер абель санаты болу (мысалы, немесе ). Сынып тізбекті кешендер аяқталды деп аталады ациклді класс егер:

  • 0 кешені бар .
  • Кешен тиесілі егер және тоқтатылған жағдайда ғана жасайды.
  • Егер кешендер болса және гомотоптық және , содан кейін .
  • Әрбір кешен ациклді.
  • Егер барлық қатарлары орналасқан қос кешен , содан кейін тиесілі .

Ациклдік кластардың үш табиғи мысалы бар, бірақ басқалары бар екені даусыз. Біріншісі - гомотопиялық келісімшартты кешендер. Екіншісі - ациклдік кешендер. Функционалды санаттарда (мысалы, топологиялық кеңістіктен абель топтарына дейінгі барлық функционерлердің санаты), әр объектіде жиырылатын, бірақ қысқартулар табиғи түрлендірулермен берілмейтін кешендер класы бар. Тағы бір мысал, тағы да функционалды санаттарда, бірақ бұл кезде комплекстер белгілі бір объектілерде ғана ациклді болады.

Келіңіздер комплекстер арасындағы тізбекті карталар класын белгілеңіз конусты бейнелеу тиесілі . Дегенмен міндетті түрде оң немесе сол фракциялардың есебі болмайды, сол және оң фракциялардың гомотопия кластарының әлсіз қасиеттері бар, бұл классты құруға мүмкіндік береді көрсеткілерді төңкеру арқылы алынған .[4]

Келіңіздер кеңейтілген эндофунктор болыңыз , яғни табиғи өзгеріс берілген (сәйкестендіру функциясы қосулы ). Біз тізбекті кешен деп айтамыз болып табылады -көрнекті егер әрқайсысы үшін болса , тізбекті кешен

тиесілі . Шекара операторы арқылы беріледі

.

Біз тізбекті кешен функциясы деп айтамыз болып табылады -ациклді егер кеңейтілген тізбек кешені болса тиесілі .

Теорема. Келіңіздер ациклді класс болу және тізбекті кешендер санатындағы көрсеткілердің сәйкес класы. Айталық болып табылады -презентативті және болып табылады -циклді. Содан кейін кез-келген табиғи өзгеріс санат бойынша кеңейтеді тізбекті функционалдардың табиғи түрленуіне және бұлбірегей гомотопияға дейін. Егер біз бұған қосымша деп ойласақ болып табылады -презентативті, сол болып табылады -циклдік және сол изоморфизм болып табылады бұл гомотопиялық эквиваленттілік.

Мысал

Міне, осы соңғы теореманың әрекеттегі мысалы. Келіңіздер болуы үшбұрышталатын кеңістіктің санаты және Абель тобының бағаланатын функционерлер санаты болуы . Келіңіздер болуы сингулярлы тізбек кешені функциясы және болуы қарапайым тізбекті кешен функция. Келіңіздер әр кеңістікке тағайындайтын функционер болыңыз кеңістік

.

Мұнда, болып табылады симплекс және осы функция тағайындалады әрқайсысының сонша данасының қосындысы -карталар болғандықтан қарапайым . Содан кейін рұқсат етіңіз арқылы анықталады . Айқын күшейту бар және бұл біреуін итермелейді . Бұл екеуін де көрсетуге болады және екеуі де -презентативті және -циклдік (оның дәлелі көрінетін және ацикли толығымен қарапайым емес және қарапайым жолмен айналма жолды пайдаланады, оны жоғарыда аталған теореманың көмегімен де шешуге болады). Сынып гомологиялық эквиваленттер класы болып табылады. Бұл өте айқын осылайша біз сингулярлық және қарапайым гипологияның изоморфты екендігі туралы қорытынды жасаймыз .

Алгебрада да, топологияда да көптеген мысалдар бар, олардың кейбіреулері сипатталған [4][5]

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ С.Эйленберг және С.Мак Лейн (1953), «Ациклді модельдер». Amer. Дж. Математика. 75, 189-199 бб
  2. ^ Джозеф Дж. Ротман, Алгебралық топологияға кіріспе (1988) Springer-Verlag ISBN  0-387-96678-1 (9.12 тарауын қараңыз, 9.12)
  3. ^ Долд, Альбрехт (1980), Алгебралық топология бойынша дәрістер, Математика бойынша кешенді зерттеулер сериясы, 200 (2-ші басылым), Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN  3-540-10369-4
  4. ^ а б c М.Барр, «Ациклді модельдер " (1999).
  5. ^ а б М.Барр, Ациклді модельдер (2002) CRM монографиясы 17, Американдық математикалық қоғам ISBN  978-0821828779.
  • Шон, Р. «Ациклдік модельдер және экзизия». Proc. Amer. Математика. Soc. 59(1) (1976) с.167-168.