Өзгерістердің негізгі теоремалары - Base change theorems - Wikipedia

Математикада негізгі өзгерту теоремалары қатысты тікелей сурет және артқа тарту туралы шоқтар. Дәлірек айтсақ, олар төменде келтірілген базалық өзгеріс картасы туралы табиғи трансформация қабықшалар:

қайда

Бұл Декарттық шаршы топологиялық кеңістіктердің және шоқ болып табылады X.

Мұндай теоремалар геометрияның әртүрлі салаларында бар: топологиялық кеңістіктер мен тиісті карталар үшін (негізінен ерікті) f, жылы алгебралық геометрия (квази) когерентті қабықшалар үшін және f дұрыс немесе ж жалпақ, ұқсас аналитикалық геометрия, сонымен қатар étale шоқтары үшін f дұрыс немесе ж тегіс.

Кіріспе

Қарапайым базаны өзгерту құбылысы пайда болады ауыстырмалы алгебра қашан A Бұл ауыстырғыш сақина және B және A ' екеуі A-алгебралар. Келіңіздер . Бұл жағдайда а B-модуль М, изоморфизм бар ( A ' -модульдер):

Мұнда индекс ұмытшақ функцияны көрсетеді, яғни. болып табылады М, бірақ ретінде қарастырылады A-модуль.Шынында да, мұндай изоморфизм бақылау арқылы алынады

Сонымен, екі операция, яғни ұмытылатын функциялар мен тензор өнімдері жоғарыда аталған изоморфизм мағынасында жүреді, төменде қарастырылған негізгі өзгеру теоремалары ұқсас типтегі тұжырымдар.

Негізгі базаны өзгерту картасын анықтау

Төменде келтірілген негізгі өзгеріс теоремалары (әр түрлі типтегі қабықшалар үшін және тартылған карталардағы әртүрлі болжамдар бойынша) мынаны растайды. базаны өзгерту картасы

изоморфизм болып табылады

а түзетін топологиялық кеңістіктер арасындағы үздіксіз карталар Декарттық шаршы және шоқ болып табылады X.[1] Мұнда дегенді білдіреді жоғары тікелей сурет туралы астында f, яғни алынған функция тікелей кескіннің (сонымен қатар pushforward деп аталады) функциясы .

Бұл карта карталарда ешқандай болжамсыз бар f және ж. Ол келесідей салынған: бастап болып табылады сол жақта дейін , табиғи карта бар (бірлік картасы деп аталады)

солай

The Гротендиек спектрлік реттілігі содан кейін бірінші картаны және соңғы картаны береді (олар шеткі карталар):

Мұны жоғарыда келтірілген өнімділікпен үйлестіру

Адъюнктілігін қолдану және соңында қажетті картаны шығарады.

Жоғарыда аталған кіріспе мысал аффиндік схемалар үшін ерекше жағдай болып табылады және, демек, , және квазиогерентті шоқ байланысты B-модуль М.

Жоғарыда келтірілген базалық өзгертулер карталарын ұйымдастыруға ыңғайлы, олар тек бір ғана жоғары имиджді қамтиды, ол тек бәрін кодтайтынға арналған. бір уақытта. Шын мәнінде, жоғарыда келтірілген ұқсас аргументтер туынды категория қабықшалар S ':

қайда (жалпы) алынған функциясын белгілейді .

Жалпы топология

Негізді дұрыс өзгерту

Егер X Бұл Хаусдорф топологиялық кеңістік, S Бұл жергілікті ықшам Хаусдорф кеңістігі және f әмбебап жабық (яғни, Бұл жабық карта кез-келген үздіксіз карта үшін ), содан кейін базаны өзгерту картасы

изоморфизм болып табылады.[2] Шынында да, бізде: үшін ,

және сол үшін

Кодтарының барлық жоғары туынды функцияларын кодтау үшін бір құрылымға, жоғарыда айтылған сөз баламалы түрде базаның өзгеру картасы деп өзгертілуі мүмкін

Бұл квазиизоморфизм.

Бұл кеңістіктің Хаусдорф болуы мүмкін деген болжам әлсіреді Schnürer & Soergel (2016).

Лури (2009) жоғарыдағы теореманы дейін кеңейтті абельді емес шоқ когомологиясы, яғни мәндерді қабылдайтын шектер қарапайым жиындар (абел топтарына қарағанда).[3]

Ықшам қолдауымен тікелей сурет

Егер карта болса f жабық емес, негізгі өзгерту картасы изоморфизм болмауы керек, өйткені келесі мысалда көрсетілген (карталар стандартты қосындылар):

Бір қол әрқашан нөлге тең, бірақ егер Бұл жергілікті жүйе қосулы сәйкес келеді өкілдік туралы іргелі топ (бұл изоморфты З), содан кейін ретінде есептелуі мүмкін инварианттар туралы монодромия әрекеті үстінде сабақ (кез-келгені үшін ) жоғалу қажет емес.

Негізді өзгерту нәтижесін алу үшін функция (немесе оның туынды функциясы) -мен ауыстырылуы керек ықшам қолдауымен тікелей сурет . Мысалы, егер бұл жоғарыдағы мысалдағы сияқты ашық ішкі жиынтығын қосу, - бұл нөлге кеңейту, яғни оның сабақтары арқылы беріледі

Жалпы, карта бар , егер бұл квази-изоморфизм болса f дұрыс, бірақ жалпы емес. Жоғарыда айтылған базаны өзгертудің тиісті теоремасында келесі жалпылама бар: квази-изоморфизм бар[4]

Квази-когерентті қабықшалардың базалық өзгерісі

Негізді дұрыс өзгерту

Дұрыс базалық өзгерту теоремалары үшін квазиогерентті шоқтар келесі жағдайда қолданыңыз: Бұл тиісті морфизм арасында ноетриялық схемалар, және Бұл когерентті шоқ қайсысы жалпақ аяқталды S (яғни, болып табылады жалпақ аяқталды ). Бұл жағдайда келесі тұжырымдар орын алады:[5]

  • «Жартылай тұрақтылық теоремасы»:
    • Әрқайсысы үшін , функциясы жоғарғы жартылай.
    • Функция жергілікті тұрақты, қайда дегенді білдіреді Эйлерге тән.
  • "Грауэрт теоремасы «: егер S азаяды және қосылады, содан кейін әрқайсысы үшін келесілері баламалы болып табылады
    • тұрақты.
    • жергілікті жер және табиғи карта
бұл барлығына арналған изоморфизм .
Сонымен, егер бұл шарттар орындалса, онда табиғи карта
бұл барлығына арналған изоморфизм .
  • Егер, кейбіреулер үшін б, барлығына , содан кейін табиғи карта
бұл барлығына арналған изоморфизм .

Ретінде сабақ шөптің астында орналасқан нүкте талшығының когомологиясымен тығыз байланысты f, бұл мәлімдеме «когомология негізді кеңейтумен жүреді» деп өзгертілген.[6]

Бұл тұжырымдар жоғарыдағы жорамалдардан басқа келесі фактіні қолдана отырып дәлелденді : ақырлы кешен бар туралы проективті A-модульдер және функционерлердің табиғи изоморфизмі

санаты бойынша -алгебралар.

Тегіс негіздің өзгеруі

Негізгі өзгерту картасы

үшін изоморфизм болып табылады квазиогерентті шоқ (қосулы ), егер карта болса болып табылады жалпақ (бірқатар техникалық шарттармен бірге: f а болуы керек бөлінген шекті типтегі морфизм, тартылған схемалар нотериялық болуы керек).[7]

Шығарылған санаттағы тегіс негіздің өзгеруі

Негізді өзгерту картасын қарастырған кезде тегіс негізді өзгертудің кеңейтілген кеңеюі мүмкін

қабықшалардың алынған санатында S ', жоғарыда айтылғандай. Мұнда - кері тартудың (жалпы) алынған функциясы -модульдер (өйткені тензор өнімін қамтиды, қашан болатындығы нақты емес ж жазық емес, сондықтан оның алынған функцияларына тең емес Бұл карта келесі шарттар орындалған жағдайда квази-изоморфизм болып табылады:[8]

  • квазиактивті және квази-ықшам және квази бөлінген,
  • объект болып табылады , шектелген туынды санаты -модульдер және оның когомологиялық қабықшалары квазиогерентті (мысалы, квази-когерентті шоқтардың шектелген кешені болуы мүмкін)
  • және болып табылады Торға тәуелсіз аяқталды , егер дегенді білдіреді және қанағаттандыру , содан кейін барлық сандар үшін ,
.
  • Келесі шарттардың бірі орындалады:
    • қатысты шектеулі жазық амплитудасы бар , бұл квазизоморфты екенін білдіреді кешенге осындай болып табылады -қатысу шектелген аралықтан тыс ; эквивалентті түрде аралық бар кез келген кешен үшін жылы , біреуінде бар барлығына сыртында ; немесе
    • ақырғы Tor өлшемі бар, демек қатысты шектеулі жазық амплитудасы бар .

Бұл тұжырымдаманың бір артықшылығы - тегіс гипотезаның әлсіреуі. Алайда, сол жақ пен оң жақтың когомологиясының нақты есептеулері қазір қажет Гротендиек спектрлік реттілігі.

Алгебралық геометрияның алынған өзгерісі

Алгебралық геометрия артқа шегіну шартымен тегістіктің болжамынан бас тартуға мүмкіндік береді ауыстырылады гомотопиялық кері тарту. Ең оңай жағдайда X, S, және аффинді болып табылады (жоғарыдағы жазумен), гомотопиялық кері тарту алынған тензор өнімі

Содан кейін, тартылған схемалар (немесе, көбінесе, алынған схемалар) квази-ықшам және квази бөлінген болады деп болжай отырып, табиғи түрлендіру

Бұл квазиизоморфизм кез-келген квазиогерентті шоқ үшін немесе жалпы а күрделі квазиогерентті қабықшалар.[9]Жоғарыда айтылған тегіс негізді өзгерту нәтижесі шын мәнінде бұл ерекше жағдай ж гомотопиялық кері тарту (оны жергілікті тензор өнімі береді) кәдімгі кері тартуға сәйкес келеді (жергілікті ішкі тензор өнімі береді), ал кері тарту жазық карталар бойымен ж және g ' автоматты түрде шығарылады (яғни, ). Алдыңғы базаның өзгеру теоремасындағы Tor-тәуелсіздікке немесе Tor-амплитудаға байланысты көмекші болжамдар да қажетсіз болып қалады.

Жоғарыда келтірілген формада негізгі өзгеріс кеңейтілді Бен-Зви, Фрэнсис және Надлер (2010) жағдайға X, S, және S ' болып табылады (алынған болуы мүмкін) стектер, карта ұсынылған жағдайда f - бұл керемет карта (оған жағдай кіреді) f - бұл квази-ықшам, квазимен бөлінген схемалар картасы, сонымен қатар жалпы стектерді де қамтиды, мысалы жіктеу стегі BG туралы алгебралық топ сипаттамалық нөлде).

Нұсқалары және қосымшалары

Базаның дұрыс өзгеруі контексте де болады күрделі коллекторлар.[10]The формальды функциялар туралы теорема - тиісті базалық өзгерістің нұсқасы, мұнда кері тарту а-мен ауыстырылады аяқтау жұмыс.

The аралау принципі және кубтың теоремасы, бұл теориядағы негізгі фактілер абелия сорттары, базаның дұрыс өзгеруінің салдары болып табылады.[11]

Негіздік өзгеріс үшін де қажет D-модульдер: егер X, S, X ', және S ' тегіс сорттар (бірақ f және ж тегіс немесе дұрыс емес болуы керек), квази-изоморфизм бар

қайда және үшін кері және тура кескін функционалдарын белгілеңіз Д.-модульдер.[12]

Этальды шелектердің негізін өзгерту

Үшін étale бұралу қабықшалары , екі базалық өзгеріс нәтижелері деп аталады дұрыс және тегіс базаның өзгеруісәйкесінше: базалық өзгеріс егер орындалады болып табылады дұрыс.[13] Ол сондай-ақ, егер ж болып табылады тегіс, деген шартпен f квазиактивті және бұралу жағдайында -ке тең сипаттамалық туралы қалдық өрістері туралы X.[14]

Тиісті базалық өзгеріске байланысты келесі факт (екі теорема әдетте бір уақытта дәлелденеді): рұқсат етіңіз X а әртүрлілігі болуы жабық өріс және а құрылымды шоқ қосулы . Содан кейін келесі жағдайлардың әрқайсысында шектеулі:

  • X толық, немесе
  • жоқ б-қозғалыс, қайда б сипаттамасы болып табылады к.

Қосымша болжамдар бойынша Денингер (1988) тиісті базалық өзгерту теоремасын бұралмайтын этальды қабықтарға дейін кеңейтті.

Қолданбалар

Жоғарыда аталған топологиялық жағдайға ұқсас аналогтық негізді өзгерту картасы ашық батыру f,

әдетте изоморфизм емес.[15] Оның орнына нөлге кеңейту функция изоморфизмді қанағаттандырады

Бұл факт және тиісті базалық өзгеріс анықтауға кеңес береді ықшам қолдауымен тікелей кескін функциясы карта үшін f арқылы

қайда Бұл ықшамдау туралы f, яғни ашық иммерсияға факторизациялау, содан кейін тиісті карта. Тиісті базалық өзгеріс теоремасы бұл дәл анықталғанын, яғни тығыздауды таңдаудың тәуелсіз (изоморфизмге дейін) екенін көрсету үшін қажет. топологиялық кеңістіктегі қабықшалар жағдайына ұқсастық, базалық өзгеру формуласы қарсы дұрыс емес карталарға арналған f.

Құрылымдық карта үшін өріс үстіндегі схема к, жеке кохомологиялары , деп белгіленеді деп аталады ықшам қолдауымен когомология. Бұл әдеттегі маңызды нұсқа этологиялық когомология.

Ұқсас идеялар функционалдың аналогын құру үшін де қолданылады жылы A1-хомотопия теориясы.[16][17]

Сондай-ақ қараңыз

Әрі қарай оқу

  • Эсно, Х .; Керц М .; Виттенберг, О. (2016), Нөлдік салыстырмалы өлшем циклдары үшін шектеу изоморфизмі, arXiv:1503.08187v2

Ескертулер

  1. ^ Рөлдері және симметриялы, ал кейбір контексттерде (әсіресе тегіс базаның өзгеруі) екіншісінің таныс формуласы (оның орнына картамен айналысады) үшін шоқ ). Төмендегі мақаладағы нәтижелер дәйектілік үшін келесіге сәйкес келтірілген бірдей жағдай, атап айтқанда карта ; бірақ оқырмандар мұны олардың күткенімен тексеретініне сенімді болуы керек.
  2. ^ Милн (2012), Теорема 17.3)
  3. ^ Лури (2009), Теорема 7.3.1.16)
  4. ^ Иверсен (1986), төрт кеңістік деп қабылданады жергілікті ықшам және ақырлы өлшем.
  5. ^ Гротендик (1963), 7.7-бөлім), Хартшорн (1977), Теорема III.12.11), Вакил (2015), 28 тарау Когомология және негізгі өзгеру теоремалары)
  6. ^ Хартшорн (1977), б. 255)
  7. ^ Хартшорн (1977), III.9.3 ұсыныс)
  8. ^ Berthelot, Grothendieck & Illusie (1971 ж.), SGA 6 IV, 3.1.0 ұсынысы)
  9. ^ Toën (2012 ж.), Ұсыныс 1.4)
  10. ^ Грауэрт (1960)
  11. ^ Мумфорд (2008)
  12. ^ Хотта, Такэути және Танисаки (2008), Теорема 1.7.3)
  13. ^ Artin, Grothendieck & Verdier (1972), Exposé XII), Милн (1980), VI.2 бөлім)
  14. ^ Artin, Grothendieck & Verdier (1972), Exposé XVI)
  15. ^ Милн (2012), 8.5-мысал)
  16. ^ Аюб, Джозеф (2007), Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monde motivique алты операциясы. I., Société Mathématique de France, ISBN  978-2-85629-244-0, Zbl  1146.14001
  17. ^ Цисинский, Денис-Чарльз; Деглис, Фредерик (2012), Аралас мотивтердің үшбұрышталған категориялары, arXiv:0912.2110, Бибкод:2009arXiv0912.2110C

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер