Картан-Амброза-Хикс теоремасы - Cartan–Ambrose–Hicks theorem - Wikipedia

Жылы математика, Картан-Амброза-Хикс теоремасы теоремасы болып табылады Риман геометриясы, оған сәйкес Риман метрикасы жергілікті анықталады Риманның қисықтық тензоры немесе, басқаша айтқанда, қисықтық тензорының параллель аударма кезіндегі әрекеті метриканы анықтайды.

Теорема атымен аталған Эли Картан, Уоррен Амброуз және оның PhD докторы Ноэль Хикс.^[1] Картан жергілікті нұсқасын дәлелдеді. Амброза жалпыға бірдей изометрия жасауға мүмкіндік беретін ғаламдық нұсқаны дәлелдеді Риман коллекторлары әр түрлі қисықтықпен, 1956 ж.^[2] Мұны Хикс жалпы коллекторларға одан әрі жалпылады аффиндік байланыстар оларда тангенді байламдар, 1959 ж.^[3]

Теореманың тұжырымы мен дәлелін мына жерден табуға болады ^[4]

Кіріспе

Келіңіздер ${ displaystyle M, N}$ жалғанған, толық Риман коллекторлары. Келіңіздер ${ displaystyle x in M, y in}$және рұқсат етіңіз

${ displaystyle I: T_ {x} M rightarrow T_ {y} N}$

сызықтық болу изометрия. Жеткілікті аз ${ displaystyle r> 0}$, экспоненциалды карталар

${ displaystyle exp _ {x}: B_ {r} (x) ішкі жиынтық T_ {x} M оң жақтағы тірек M, exp _ {y}: B_ {r} (y) ішкі жиынтық T_ {y} N оң жақ N}$

жергілікті диффеоморфизмдер болып табылады. Мұнда, ${ displaystyle B_ {r} (x)}$ ортаға бағытталған доп болып табылады ${ displaystyle x}$ радиустың ${ displaystyle r.}$ Сонан соң диффеоморфизм анықталады ${ displaystyle f: B_ {r} (x) rightarrow B_ {r} (y)}$ арқылы

${ displaystyle f = exp _ {y} circ I circ exp _ {x} ^ {- 1}.}$

Үшін геодезиялық ${ displaystyle gamma: left [0, T right] rightarrow B_ {r} (x) subset M}$ бірге ${ displaystyle gamma (0) = x}$, ${ displaystyle f}$ оны геодезияға түсіреді ${ displaystyle f ( gamma): left [0, T right] rightarrow B_ {r} (y) subset N}$ бірге ${ displaystyle f ( gamma) (0) = y}$,. Келіңіздер ${ displaystyle P _ { gamma} (t)}$бойымен параллель тасымалдау болыңыз ${ displaystyle gamma}$ (арқылы анықталады Levi-Civita байланысы ), және ${ displaystyle P_ {f ( gamma) (t)}}$ бойымен параллель тасымалдау болыңыз ${ displaystyle f ( gamma)}$. Содан кейін біз анықтаймыз

${ displaystyle I _ { gamma} (t) = P_ {f ( gamma) (t)} circ I circ P _ { gamma (t)} ^ {- 1}: T _ { gamma (t)} M оң жақ жебе T_ {f ( гамма (t))} N}$

үшін ${ displaystyle t in left [0, T right]}$.

Картан теоремасы

Дәлелденген түпнұсқа теорема Картан - Картан-Амброз-Хикс теоремасының жергілікті нұсқасы. Онда көрсетілген ${ displaystyle f}$ барлық геодезия үшін болса (жергілікті) изометрия болып табылады ${ displaystyle gamma: left [0, T right] rightarrow B_ {r} (x) subset M}$ бірге ${ displaystyle gamma (0) = x}$ және бәрі ${ displaystyle t in [0, T], X, Y, Z in T _ { гамма (t)} M}$, Бізде бар ${ displaystyle I _ { gamma} (t) (R (X, Y, Z)) = { overline {R}} (I _ { gamma} (t) (X), I _ { gamma} (t)) (Y), I _ { гамма} (t) (Z))}$, қайда ${ displaystyle R, { overline {R}}}$ Риманның қисықтық тензорлары болып табылады ${ displaystyle M, N}$.

Ескертіп қой ${ displaystyle f}$ әдетте диффеоморфизм емес, тек жергілікті изометриялық болуы керек жабу картасы. Алайда, ${ displaystyle f}$ жаһандық изометрия болуы керек, егер ${ displaystyle N}$ жай жалғанған.

Картан-Амброза-Хикс теоремасы

Теорема: Риманның қисықтық тензорлары үшін ${ displaystyle R, { overline {R}}}$ және барлық сынған геодезиялар (сынған геодезия - бұл кесек геодезиялық қисық) ${ displaystyle gamma: left [0, T right] rightarrow M}$ бірге ${ displaystyle gamma (0) = x}$,

${ displaystyle I _ { gamma} (t) (R (X, Y, Z)) = { overline {R}} (I _ { gamma} (t) (X), I _ { gamma} (t)) (Y), I _ { гамма} (t) (Z))}$

барлығына ${ displaystyle t in [0, T], X, Y, Z in T _ { гамма (t)} M}$.

Содан кейін, егер екі сынған геодезия басталса ${ displaystyle x}$бірдей нүкте, содан кейін тиісті сынған геодезия (картада көрсетілген) болуы керек ${ displaystyle I _ { gamma}}$) ${ displaystyle N}$ сонымен бірге бірдей нүкте бар. Сонымен, карта бар

${ displaystyle F: M rightarrow N}$

сынған геодезиялық соңғы нүктелерді картаға түсіру арқылы ${ displaystyle M}$тиісті геодезиялық соңғы нүктелерге ${ displaystyle N}$.

Карта ${ displaystyle F: M rightarrow N}$ жергілікті изометриялық жабу картасы.

Егер ${ displaystyle N}$ сонымен қатар жай байланысады, содан кейін ${ displaystyle F}$ изометрия болып табылады.

Жергілікті симметриялық кеңістіктер

Риманн коллекторы деп аталады жергілікті симметриялы егер параллельді тасымалдау кезінде оның Риман қисықтық тензоры инвариантты болса:

${ displaystyle nabla R = 0.}$

Қарапайым жалғанған Риман коллекторы жергілікті симметриялы, егер ол а симметриялық кеңістік.

Картан-Амброза-Хикс теоремасынан бізде:

Теорема: Рұқсат етіңіз ${ displaystyle M, N}$ байланысты, толық, жергілікті симметриялы Риман коллекторлары және рұқсат етіңіз ${ displaystyle M}$ жай жалғанған. Олардың Риман қисықтық тензорлары болсын ${ displaystyle R, { overline {R}}}$. Келіңіздер ${ displaystyle x in M, y in}$ және

${ displaystyle I: T_ {x} M rightarrow T_ {y} N}$

сызықтық изометрия болыңыз ${ displaystyle I (R (X, Y, Z)) = { overline {R}} (I (X), I (Y), I (Z))}$. Содан кейін жергілікті изометриялық жабу картасы бар

${ displaystyle F: M rightarrow N}$

бірге ${ displaystyle F (x) = y}$ және ${ displaystyle D_ {x} F = I}$.

Қорытынды: Кез-келген толық жергілікті симметриялық кеңістік формада болады ${ displaystyle M / gamma}$ симметриялық кеңістік үшін ${ displaystyle M}$және ${ displaystyle gamma subset Isom (M)}$ Бұл дискретті кіші топ изометрияларының ${ displaystyle M}$.

Жіктелуі кеңістік формалары

Картан-Амброуз-Хикс теоремасын қолдану ретінде кез-келген қарапайым, толық Риман коллекторы тұрақты қисықтық қисаюы ${ displaystyle in {+ 1,0, -1 }}$ сәйкес изометриялық болып табылады n-сфера ${ displaystyle S ^ {n}}$, n- Евклид кеңістігі ${ displaystyle E ^ {n}}$, және n-гиперболалық кеңістік ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$.

Әдебиеттер тізімі