Коломбо алгебрасы - Colombeau algebra - Wikipedia

Жылы математика, а Коломбо алгебрасы болып табылады алгебра кеңістігін қамтитын белгілі бір түрдегі Шварц үлестірімдері. Классикалық таралу теориясында үлестірімдерді жалпы көбейту мүмкін болмаса, Коломбе алгебралары бұл үшін қатаң негіз жасайды.

Мұндай үлестірулерді көбейту Л.Шварцтың мүмкін емес нәтижесі болғандықтан мүмкін емес деп есептелді, бұл негізінен таралу кеңістігін қамтитын және үздіксіз функциялардың туындысын сақтайтын дифференциалды алгебра болмайды. Алайда, егер біреу тек тегіс функциялардың өнімін сақтағысы келсе, оның орнына мұндай құрылыс мүмкін болады, мұны алдымен Коломбо көрсетті.

Математикалық құрал ретінде Коломбе алгебралары таралу теориясының шектеулерін көтеріп, сингулярлықты, дифференциацияны және сызықтық емес амалдарды бір шеңберде біріктіреді деп айтуға болады. Бұл алгебралар парциалды теңдеулер, геофизика, микролокалды талдау және жалпы салыстырмалылық салаларында көптеген қосымшалар тапты.

Шварцтың мүмкін емес нәтижесі

Кеңістікті ендіруге тырысу тарату ассоциативті алгебраға , келесі талаптар табиғи болып көрінеді:

  1. ішіне сызықтық ендірілген тұрақты функциясы болатындай ішіндегі бірлікке айналады ,
  2. Ішінара туынды оператор бар қосулы ол сызықты және Лейбниц ережесін қанағаттандырады,
  3. шектеу дейін әдеттегі ішінара туындымен сәйкес келеді,
  4. шектеу дейін нүктелік көбейтіндісімен сәйкес келеді.

Алайда Л.Шварцтың нәтижесі[1] бұл талаптардың бір уақытта орындала алмайтындығын білдіреді. Егер 4-те біреуін ауыстырса да, дәл солай болады арқылы , кеңістігі үздіксіз дифференциалданатын функциялар. Бұл нәтиже көбінесе үлестірулерді жалпы көбейту мүмкін емес деп түсіндірілсе де, іс жүзінде тек дифференциацияны, үздіксіз функцияларды көбейтуді және Дирак дельтасы сияқты сингулярлық объектілердің болуын шектеусіз біріктіруге болмайтынын айтады.

Коломбе алгебралары 1. –3 шарттарын орындау үшін салынған. және 4. сияқты шарт, бірақ бірге ауыстырылды , яғни олар тек тегіс (шексіз дифференциалданатын) функциялардың өнімін сақтайды.

Негізгі идея

Коломбо алгебрасы[2] ретінде анықталады алгебра

Мұнда алгебрасы орташа функциялар қосулы тегіс алгебрасы заңдылықтар (fε)

туралы тегіс функциялар қосулы (қайда R+ = (0, ∞) «регуляция «параметр ε), барлық ықшам ішкі жиындар үшін Қ туралы және бәрі көп көрсеткіштер α, бар N > 0 осылай

The идеалды туралы елеусіз функциялар дәл осылай анықталады, бірақ оның орнына туынды туындылары бар O (ε+ N) үшін барлық N > 0.

Таратуларды енгізу

Кеңістігі Шварц үлестірімдері ішіне кірістіруге болады жеңілдетілген алгебра (компонент бойынша) конволюция алгебраның кез-келген элементімен, өкілі ретінде а net-тор, яғни тегіс функциялардың отбасы осындай жылы D ' сияқтыε → 0.

Бұл ендіру канондық емес, себебі бұл δ-торды таңдауға байланысты. Алайда, Коломбе алгебраларының нұсқалары бар (осылай аталады) толық алгебралар), бұл бөлудің канондық енуіне мүмкіндік береді. Белгілі толық нұсқасы екінші индекстеу жиынтығы ретінде молификаторларды қосу арқылы алынады.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Л.Шварц, 1954, «Sur l'impossibilité de la multiplication des distribution», Comptes Rendus de L'Académie des Sciences 239, 847–848 беттер [1]
  2. ^ Gratus, J. (2013). «Коломбо алгебрасы: педагогикалық кіріспе». arXiv:1308.0257 [математика ].

Әдебиеттер тізімі

  • Коломбо, Дж. Ф., Жаңа жалпыланған функциялар және үлестірулерді көбейту. Солтүстік Голландия, Амстердам, 1984 ж.
  • Коломбо, Дж. Ф., Жаңа жалпыланған функцияларға қарапайым кіріспе. Солтүстік-Голландия, Амстердам, 1985 ж.
  • Неделжков, М., Пилипович, С., Скарпалесос, Д., Коломбаның жалпыланған функцияларының сызықтық теориясы, Аддисон Уэсли, Лонгман, 1998 ж.
  • Гроссер, М., Кунцингер, М., Обугуггенбергер, М., Штайнбауэр, Р .; Жалпы салыстырмалылыққа қосымшалары бар жалпыланған функциялардың геометриялық теориясы, Springer сериялы математика және оның қолданылуы, т. 537, 2002; ISBN  978-1-4020-0145-1.