Курантты минимакс принципі - Courant minimax principle

Математикада Курантты минимакс принципі береді меншікті мәндер нақты симметриялық матрица. Оған байланысты Ричард Курант.

Кіріспе

Courant minimax принципі нақты симметриялық матрицаның меншікті мәндерін табуға шарт береді. Courant minimax принципі келесідей:

Кез-келген нақты симметриялық матрица үшін A,

${displaystyle lambda _ {k} = min limits _ {C} max limits _ {{| x | = 1}, {Cx = 0}} Axle, xangle,}$

қайда C кез келген (к − 1) × n матрица.

Вектор екеніне назар аударыңыз х болып табылады меншікті вектор тиісті меншікті мәнге дейінλ.

Courant minimax принципі - бұл максималды теореманың нәтижесі q(х) = <Балта,х>, A нақты симметриялы матрица бола отырып, ең үлкен меншікті мән берілген λ₁ = макс_||х||=1q(х) = q(х₁), қайда х₁ сәйкес жеке вектор болып табылады. Сондай-ақ (максималды теоремада) кейінгі меншікті мәндер λ_к және меншікті векторлар х_к бір-біріне индукциялық және ортогоналды жолмен табылған; сондықтан, λ_к = максq(х_к) <х_j,х_к> = 0, j < к.

Courant minimax принципін, сондай-ақ максималды принципті елестету арқылы елестетуге болады, егер ||х|| = 1 - а гиперфера содан кейін матрица A гиперфераны анға айналдырады эллипсоид. Қашан қиылысатын үлкен ось гиперплан максималды - яғни квадраттық форманың ұзындығы q(х) максималды - бұл меншікті вектор, ал оның ұзындығы меншікті мән. Барлық басқа меншікті векторлар бұған перпендикуляр болады.

Минимакс принципі өзін-өзі қосатын оң операторлардың меншікті мәндерін жалпылайды Гильберт кеңістігі, ол әдетте зерттеу үшін қолданылады Штурм-Лиувилл проблемасы.

Сондай-ақ қараңыз

• Мин-макс теоремасы
• Max-min теңсіздік
• Рэлейдің ұсынысы

Әдебиеттер тізімі

• Курант, Ричард; Хилберт, Дэвид (1989), Математикалық физика әдісі, т. Мен, Вили-Интерсианс, ISBN  0-471-50447-5 (31-34 беттер; оқулықтардың көпшілігінде әдетте «максималды-минималды әдіс» есептеледі Рэли және Ритц, кім қолданды вариацияларды есептеу дыбыс теориясында.)
• Кинер, Джеймс П. Қолданбалы математиканың принциптері: түрлендіру және жуықтау. Кембридж: Westview Press, 2000 ж. ISBN  0-7382-0129-4
• Рог, Роджер; Джонсон, Чарльз (1985), Матрицалық талдау, Кембридж университетінің баспасы, б. 179, ISBN  978-0-521-38632-6