Coxeter элементі - Coxeter element - Wikipedia

Жылы математика, Coxeter нөмірі сағ болып табылады тапсырыс а Coxeter элементі қысқартылмайтын Коксетер тобы. Оған байланысты H.S.M. Коксетер.[1]

Анықтамалар

Бұл мақалада соңғы коксетер тобы бар екенін ескеріңіз. Шексіз коксетер топтары үшін бірнеше болады конъюгация сабақтары және олар шексіз тәртіпке ие.

Коксетер санын анықтаудың әртүрлі тәсілдері бар сағ төмендетілмейтін тамыр жүйесінің.

A Coxeter элементі барлық қарапайым көріністердің туындысы болып табылады. Өнім олардың қабылдану ретіне байланысты, бірақ әртүрлі тапсырыстар шығарады конъюгат элементтері, бірдей тапсырыс.

  • Коксетер саны кез-келгеннің реті болып табылады Коксер элементі;.
  • Coxeter саны - 2м/n, қайда n дәрежесі, және м бұл шағылыстың саны. Кристаллографиялық жағдайда м санының жартысына тең тамырлар; және +n сәйкес жарты жартылай өлшемі болып табылады Алгебра.
  • Егер ең жоғары түбір ∑ болсамменαмен қарапайым тамырларға арналған αмен, сонда Коксетер саны 1 + ∑ боладыммен.
  • Коксетер саны - көпмүшеліктерге әсер ететін Коксетер тобының фундаменталды инвариантының ең жоғарғы дәрежесі.

Әр Dynkin типіне арналған Coxeter нөмірі келесі кестеде келтірілген:

Коксетер тобыКоксетер
диаграмма
Динкин
диаграмма
Рефлексия
м=nh/2[2]
Coxeter нөмірі
сағ
Қос коксер нөміріІргелі инварианттардың дәрежелері
An[3,3...,3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngn(n+1)/2n + 1n + 12, 3, 4, ..., n + 1
Bn[4,3...,3]CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngDyn-node.pngDyn-4a.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngn22n2n − 12, 4, 6, ..., 2n
CnDyn-node.pngDyn-4b.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngn + 1
Д.n[3,3,..31,1]CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngDyn-branch1.pngDyn-node.pngDyn-3.png...Dyn-3.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngn(n-1)2n − 22n − 2n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E6[32,2,1]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-branch.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png3612122, 5, 6, 8, 9, 12
E7[33,2,1]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-branch.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png6318182, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8[34,2,1]CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-branch.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.pngDyn2-3.pngDyn2-node.png12030302, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4[3,4,3]CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-4a.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png
Dyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.pngDyn-4b.pngDyn-node.pngDyn-3.pngDyn-node.png
241292, 6, 8, 12
G2[6]CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngDyn-node.pngDyn-6a.pngDyn-node.png
Dyn-node.pngDyn-6b.pngDyn-node.png
6642, 6
H3[5,3]CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png-15102, 6, 10
H4[5,3,3]CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png-60302, 12, 20, 30
Мен2(б)[p]CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png-бб2, б

Көпмүшеліктерге әсер ететін Коксетер тобының инварианттары көпмүшелік алгебрахоз генераторларын құрайды, бұл негізгі инварианттар; олардың дәрежелері жоғарыдағы кестеде келтірілген. Егер болса м - бұл фундаментальді инварианттың дәрежесі, солай болса сағ + 2 − м.

Коксетер элементінің меншікті мәндері сандар болып табылады eмен(м − 1)/сағ сияқты м іргелі инварианттардың дәрежелерінен өтеді. Бұл басталады м = 2, оларға мыналар жатады қарапайым сағбірліктің түбірі, ζсағ = eмен/сағ, бұл маңызды Коксетер жазықтығы, төменде.

Топтық тапсырыс

Тапсырыс арасында қатынастар бар ж коксетер тобының және коксердің нөмірі сағ:[3]

  • [p]: 2 сағ / гб = 1
  • [p, q]: 8 / гp, q = 2 / p + 2 / q -1
  • [p, q, r]: 64 сағ / гp, q, r = 12 - p - 2q - r + 4 / p + 4 / r
  • [p, q, r, s]: 16 / г.p, q, r, s = 8 / гp, q, r + 8 / гq, r, s + 2 / (ps) - 1 / p - 1 / q - 1 / r - 1 / s +1
  • ...

Мысал, [3,3,5] бар сағ= 30, сондықтан 64 * 30 / г = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, сондықтан g = 1920 * 15/2 = 960 * 15 = 14400.

Coxeter элементтері

Коксетердің ерекше элементтері Коксетер диаграммасының бағыттарына сәйкес келеді (яғни Динкинге) қорқыныш ): бастапқы шыңдарға сәйкес келетін қарапайым шағылысулар алдымен, төменгі шыңдар кейінірек, ал раковиналар соңғы жазылады. (Көршілес емес шыңдар арасындағы тәртіпті таңдау маңызды емес, өйткені олар ауыспалы коммутацияға сәйкес келеді.) Ерекше таңдау - бұл ауыспалы бағдар, онда қарапайым шағылыстырулар шектес емес шыңдардың екі жиынтығына бөлініп, барлық шеттері бағытталған болады. біріншіден екінші жиынтыққа дейін.[4] Айнымалы бағдар арнайы коксетер элементін шығарады w қанағаттанарлық , қайда w0 болып табылады ең ұзын элемент, және біз Coxeter нөмірін қабылдаймыз сағ тең.

Үшін , симметриялық топ қосулы n элементтер, коксер элементтері белгілі n-циклдар: қарапайым шағылыстыру көбейтіндісі Coxeter элементі болып табылады .[5] Үшін n біртекті бағдарланған Coxeter элементі:

Сонда арасында ерекше коксетер элементтері бар n- велосипедтер.

The екіжақты топ Дихб бұрышын құрайтын екі шағылысу арқылы пайда болады , осылайша олардың өнімі айналу болып табылады .

Коксетер жазықтығы

Э-нің проекциясы8 30 есе симметрияны көрсететін коксетер жазықтығына тамыр жүйесі.

Берілген коксер элементі үшін w, бірегей ұшақ бар P ол бойынша w 2π / айналу арқылы әрекет етедісағ. Бұл деп аталады Коксетер жазықтығы[6] және ол орналасқан жазықтық P меншікті мәндері бар eмен/сағ және e−2πмен/сағ = eмен(сағ−1)/сағ.[7] Бұл жазықтық алғаш рет жүйелі түрде зерттелген (Коксетер 1948 ),[8] және кейіннен (Стейнберг 1959 ж ) коксетер элементтерінің қасиеттері туралы біркелкі дәлелдемелер беру.[8]

Коксетер жазықтығы жоғары өлшемді политоптар мен тамыр жүйелерінің сызбаларын салу үшін жиі қолданылады - политоптың шыңдары мен шеттері немесе тамырлар (және оларды байланыстыратын кейбір шеттер) ортогоналды түрде жобаланған коксетер жазықтығына а Петри көпбұрышы бірге сағ- айналмалы симметрия.[9] Түбірлік жүйелер үшін Coxeter элементіне сәйкес келетін түбірлік карталар жоқ, ешқандай түбір немесе дәл ось бекітпейді (меншікті мәні 1 немесе -1 емес), сондықтан орбиталардың проекциясы w форма сағ- дөңгелек пішімде[9] және Е-де сияқты бос орталық бар8 оң жақта диаграмма. Политоптар үшін шың нөлге теңестірілуі мүмкін, төменде көрсетілгендей. Коксетер жазықтығына проекциялар төменде көрсетілген Платондық қатты денелер.

Үш өлшемде а-ның симметриясы тұрақты полиэдр, {p, q}, бір бағытталған петри көпбұрышымен белгіленген, 3 шағылыстың композициясы ретінде анықталған, бар ротоинверсия симметрия Sсағ, [2+, сағ+], тапсырыс сағ. Айна қосу арқылы симметрияны антипризматикалық симметрияға екі еселеуге болады, Dhd, [2+, h], 2-тапсырыссағ. Ортогональ 2D проекциясында бұл болады екі жақты симметрия, Дихсағ, [h], тапсырыс 2сағ.

Коксетер тобыA3
Тг.
B3
Oсағ
H3
Менсағ
Тұрақты
полиэдр
3-симплекс t0.svg
{3,3}
CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3-текше t0.svg
{4,3}
CDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
3-текше t2.svg
{3,4}
CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Dodecahedron H3 projection.svg
{5,3}
CDel түйіні 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Icosahedron H3 projection.svg
{3,5}
CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
СимметрияS4, [2+,4+], (2×)
Д., [2+,4], (2*2)
S6, [2+,6+], (3×)
Д.3d, [2+,6], (2*3)
S10, [2+,10+], (5×)
Д., [2+,10], (2*5)
Коксетер жазықтығы
симметрия
Дих4, [4], (*4•)Дих6, [6], (*6•)Дих10, [10], (*10•)
4 есе, 6 және 10 есе симметрияны көрсететін платондық қатты денелердегі петрия көпбұрыштары.

Төрт өлшемде а-ның симметриясы тұрақты полихорон, {p, q, r}, бір бағытталған Петри көпбұрышымен а белгіленеді қос айналу, симметриямен +, 4 шағылыстың композициясы ретінде анықталды1/сағ[Cсағ× Cсағ][10] (Джон Х.Конвей ), (C/ C1C)/ C1) (#1', Патрик ду Вал (1964)[11]), тапсырыс сағ.

Коксетер тобыA4B4F4H4
Тұрақты
полихорон
4-симплекс t0.svg
{3,3,3}
CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4-orthoplex.svg
{3,3,4}
CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4-текше graph.svg
{4,3,3}
CDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
24 ұяшық t0 F4.svg
{3,4,3}
CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
120 жасушалық H4.svg графигі
{5,3,3}
CDel түйіні 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H4.svg 600 ұяшық графигі
{3,3,5}
CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Симметрия+1/5[C5× C5]+1/8[C8× C8]+1/12[C12× C12]+1/30[C30× C30]
Коксетер жазықтығы
симметрия
Дих5, [5], (*5•)Дих8, [8], (*8•)Дих12, [12], (*12•)Дих30, [30], (*30•)
5 есе, 8 есе, 12 және 30 есе симметрияны көрсететін қалыпты 4D қатты денелерден тұратын петрия көпбұрыштары.

Бес өлшемде а-ның симметриясы тұрақты 5-политоп, {p, q, r, s}, бір бағытталған Петри көпбұрышымен белгіленген, 5 шағылыстың құрамдасымен көрсетілген.

Коксетер тобыA5B5Д.5
Тұрақты
политерон
5-симплекс t0.svg
{3,3,3,3}
CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-orthoplex.svg
{3,3,3,4}
CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5-текше graph.svg
{4,3,3,3}
CDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5-demicube t0 D5.svg
сағ {4,3,3,3}
CDel түйіндері 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Коксетер жазықтығы
симметрия
Дих6, [6], (*6•)Дих10, [10], (*10•)Дих8, [8], (*8•)

6-дан 8-ге дейінгі өлшемдерде 3 ерекше коксетер тобы бар, әр өлшемнен біркелкі политоп Е түбірлерін білдіредіn Ерекше өтірік топтар. Coxeter элементтері сәйкесінше 12, 18 және 30 құрайды.

En топтар
Коксетер тобыE6E7E8
ГрафикЖоғары 1 22 t0 E6.svg
122
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel филиалы 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Gosset 2 31 polytope.svg
231
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
E8Petrie.svg
421
CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Коксетер жазықтығы
симметрия
Дих12, [12], (*12•)Дих18, [18], (*18•)Дих30, [30], (*30•)

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Чандлер Дэвис; Эрлих В.Эллерс (2006), Коксетер мұрасы: рефлексиялар мен проекциялар, AMS кітап дүкені, б. 112, ISBN  978-0-8218-3722-1
  2. ^ Коксетер, Тұрақты политоптар, §12.6 Шағылысу саны, теңдеу 12.61
  3. ^ Тұрақты политоптар, б. 233
  4. ^ Джордж Луштиг, Кванттық топтарға кіріспе, Birkhauser (2010)
  5. ^ (Хамфрис 1992 ж, б. 75 )
  6. ^ Coxeter Planes Мұрағатталды 2018-02-10 Wayback Machine және Coxeter ұшақтары Мұрағатталды 2017-08-21 Wayback Machine Джон Стембридж
  7. ^ (Хамфрис 1992 ж, 3.17 бөлім, «Ұшақтағы іс-қимыл», 76-78 б )
  8. ^ а б (2010 оқу, б. 2)
  9. ^ а б (Stembridge 2007 )
  10. ^ Кватерниондар мен октоньондар туралы, 2003, Джон Хортон Конвей және Дерек А.Смит ISBN  978-1-56881-134-5
  11. ^ Патрик Ду Вал, Омографиялар, кватерниондар және айналу, Оксфордтың математикалық монографиялары, Clarendon Press, Оксфорд, 1964.

Әдебиеттер тізімі