Егорычев әдісі - Egorychev method
The Егорычев әдісі табу тәсілдерінің жиынтығы болып табылады сәйкестілік сомаларының арасында биномдық коэффициенттер. Әдіс екі бақылауға сүйенеді. Біріншіден, коэффициенттерін шығару арқылы көптеген сәйкестіліктерді дәлелдеуге болады генерациялық функциялар. Екіншіден, көптеген генераторлық функциялар конвергенттік қуат қатарына жатады, және коэффициентті экстракция көмегімен жүзеге асыруға болады Коши қалдықтары туралы теорема (әдетте бұл шығу тегі бар дөңгелек контурды біріктіру арқылы жасалады). Ізделетін сәйкестікті енді интегралдың манипуляциясы арқылы табуға болады. Осы манипуляциялардың кейбіреулері генерациялау функциясы тұрғысынан түсініксіз. Мысалы, интеграл көбінесе а болады рационалды функция, ал рационалды функцияның қалдықтарының қосындысы нөлге тең, бастапқы қосынды үшін жаңа өрнек шығады. The қалдық шексіздікте осы пікірлерде әсіресе маңызды.
Егорычев әдісімен қолданылатын негізгі интегралдар:
- Бірінші биномдық коэффициент интеграл
![{ displaystyle {n select k} = { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n}} {z ^ {k + 1}}} ; dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f762839e6d9a14a7b9303e86055792458932e8c1)
- Екінші биномдық коэффициент интеграл
![{ displaystyle {n k} = { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {1} {(1-z) ^ {k + таңдаңыз 1} z ^ {n-k + 1}}} ; dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec42c2e658a1419230b49ae645f50fba497174f)
![{ displaystyle n ^ {k} = { frac {k!} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac { exp (nz)} {z ^ {k + 1}}} ; dz:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb48ee039e27f478ced76f1b93d3f05f3315fa8)
![{ displaystyle [[0 leq k leq n]] = { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {z ^ {k}} { z ^ {n + 1}}} { frac {1} {1-z}} ; dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0680d3d4e311b2c6e25250974f1daf83f8844f)
I мысал
Біз бағалауға ұмтылдық делік
![{ displaystyle S_ {j} (n) = sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n таңдау k} {n + k таңдау k} {k таңдау j }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5e89d18f180245dabb444e105df5a7d752aec0)
талап етілетін:![{ displaystyle (-1) ^ {n} {n j} {n + j таңдаңыз j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176e238f588ef145872408939b1b6dd3d761de47)
Таныстыру
![{ displaystyle {n + k k} = { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n + k таңдаңыз }} {z ^ {k + 1}}} ; dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bbc975bdad0ee178ba80747ff3402bdaaee1daa)
және
![{ displaystyle {k select j} = { frac {1} {2 pi i}} int _ {| w | = varepsilon} { frac {(1 + w) ^ {k}} {w ^ {j + 1}}} ; dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e591ac3e46dd07db8cc4a2337fa4a7efdff157)
Бұл сомаға әкеледі
![{ displaystyle { begin {aligned} & { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n}} {z }} { frac {1} {2 pi i}} int _ {| w | = varepsilon} { frac {1} {w ^ {j + 1}}} sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n k} { frac {(1 + z) ^ {k} (1 + w) ^ {k}} {z ^ {k}}} таңдаңыз ; dw ; dz [6pt] = {} & { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n }} {z}} { frac {1} {2 pi i}} int _ {| w | = varepsilon} { frac {1} {w ^ {j + 1}}} left (1 - { frac {(1 + w) (1 + z)} {z}} right) ^ {n} ; dw ; dz [6pt] = {} & { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n}} {z ^ {n + 1}}} { frac {1} {2 pi i}} int _ {| w | = varepsilon} { frac {1} {w ^ {j + 1}}} (- 1-w-wz) ^ {n} ; dw ; dz [6pt] = {} & { frac {(-1) ^ {n}} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n }} {z ^ {n + 1}}} { frac {1} {2 pi i}} int _ {| w | = varepsilon} { frac {1} {w ^ {j + 1} }} (1 + w + wz) ^ {n} ; dw ; dz. End {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bec67decdc082335ccbc59252999791f807c774)
Бұл
![{ displaystyle { frac {(-1) ^ {n}} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n}} {z ^ {n + 1}}} { frac {1} {2 pi i}} int _ {| w | = varepsilon} { frac {1} {w ^ {j + 1}}} sum _ {q = 0} ^ {n} {n q} w ^ {q} (1 + z) ^ {q} ; dw ; dz.} таңдаңыз](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a760ef4ae5ed86e186db48497008a08b8de0c48c)
Қалдықты шығарып алу
Біз алып жатырмыз
![{ displaystyle { begin {aligned} & { frac {(-1) ^ {n}} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n}} {z ^ {n + 1}}} {n j} (1 + z) ^ {j} ; dz [6pt] = {} & {n j} { таңдаңыз frac {(-1) ^ {n}} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n + j}} {z ^ {n +1}}} ; dz [6pt] = {} & (- 1) ^ {n} {n select j} {n + j select n} end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73160d71da4c8dd07aa85b343727ab06d27b877b)
осылайша талапты дәлелдеу.
II мысал
Біз бағалауға ұмтылдық делік ![{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} k {2n n + k} таңдаңыз.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5080bd117b81c27a2c4cf062e0240ab4cb6f0e78)
Таныстыру
![{ displaystyle {2n n + k} = { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {1} {z ^ {n-k + таңдаңыз 1}}} { frac {1} {(1-z) ^ {n + k + 1}}} ; dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e1e1f8e48a5fc0a390194863225af4349ed489)
Бұл кезде нөлге тең болатынына назар аударыңыз
сондықтан біз ұзарта аламыз
сомаға алу үшін шексіздік
![{ displaystyle { begin {aligned} & { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {1} {z ^ {n + 1}}} { frac {1} {(1-z) ^ {n + 1}}} sum _ {k geq 0} k { frac {z ^ {k}} {(1-z) ^ {k} }} ; dz [6pt] = {} & { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {1} {z ^ {n + 1}}} { frac {1} {(1-z) ^ {n + 1}}} { frac {z / (1-z)} {(1-z / (1-z)) ^ { 2}}} ; dz [6pt] = {} & { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {1} {z ^ { n}}} { frac {1} {(1-z) ^ {n}}} { frac {1} {(1-2z) ^ {2}}} ; dz. end {aligned}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5191b439d619a7bc1b7773e57f3608df8ac0d0)
Енді қой
сондықтан (бейнесін ескеріңіз
бірге
кішігірім - тағы бір тұйық контур тәрізді контур, оны басқа шеңбер алу үшін деформациялауымыз мүмкін
)
![{ displaystyle z = { frac {1 - { sqrt {1-4w}}} {2}} quad { text {and}} quad (1-2z) ^ {2} = 1-4w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be17f60b60b7750fbb49c31cea71037236c21c3f)
және бұдан басқа
![{ displaystyle dz = - { frac {1} {2}} times { frac {1} {2}} times (-4) times (1-4w) ^ {- 1/2} ; dw = (1-4w) ^ {- 1/2} ; dw}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8a37ec466aa0c8ba89ae8cf938fea9d2ead3d2)
интегралға қол жеткізу
![{ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} int _ {| w | = gamma} { frac {1} {w ^ {n}}} { frac {1} {1- 4w}} (1-4w) ^ {- 1/2} ; dw = { frac {1} {2 pi i}} int _ {| w | = gamma} { frac {1} { w ^ {n}}} { frac {1} {(1-4w) ^ {3/2}}} ; dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59003244c75ab248b8b17ee58d00048933cf2881)
Бұл тексеру арқылы бағаланады (пайдалану Ньютон биномы )
![{ displaystyle { begin {aligned} & 4 ^ {n-1} {n-1 + 1/2 n-1} = 4 ^ {n-1} {n-1/2 n-1} таңдаңыз = { frac {4 ^ {n-1}} {(n-1)!}} prod _ {q = 0} ^ {n-2} (n-1/2-q) = {} & { frac {2 ^ {n-1}} {(n-1)!}} prod _ {q = 0} ^ {n-2} (2n-2q-1) = { frac {2 ^ {n-1}} {(n-1)!}} { frac {(2n-1)!} {2 ^ {n-1} (n-1)!}} [6pt] = {} & { frac {n ^ {2}} {2n}} {2n select n} = { frac {1} {2}} n {2n select n}. end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7831d1aaeef12fb765ae5d5c5af0c68fe86f14bd)
Мұнда картаға түсіру
дейін
квадрат түбірін таңдауды анықтайды. Бұл мысал қарапайым әдістерге де әкеледі, бірақ интеграцияның айнымалысына алмастырудың әсерін көрсету үшін осында келтірілген.
Сыртқы сілтемелер
Әдебиеттер тізімі