Талшықтар жиынтығының теоремасы - Fiber bundle construction theorem

Жылы математика, талшықтың байламын құру теоремасы Бұл теорема а құрастыратын талшық байламы берілген базалық кеңістіктен, талшықтан және сәйкес жиынтықтан ауысу функциялары. Теорема осындай екі шоғырдың болатын жағдайларын да береді изоморфты. Теореманың мәні өте маңызды байланысты байлам біреуі берілген бумадан басталып, хирургиялық жолмен талшықты жаңа кеңістікке ауыстыратын, ал қалған барлық деректерді сақтайтын құрылыс.

Ресми мәлімдеме

Келіңіздер X және F болуы топологиялық кеңістіктер және рұқсат етіңіз G болуы а топологиялық топ а үздіксіз сол жақ әрекет қосулы F. Берілген ашық қақпақ {Uмен} of X және жиынтығы үздіксіз функциялар

әрбір бос емес қабаттасуда анықталады, осылайша циклдің жағдайы

талшықтар дестесі бар EX талшықпен F және құрылым тобы G бұл {trivializable {Uмен} ауысу функцияларымен тиж.

Келіңіздер EBase базалық кеңістігі, талшықтары, құрылымдық тобы және тривиализациялаушы аудандары бар, бірақ өтпелі функциялары бар басқа талшықты байлам болуы керек тиж. Егер әрекет G қосулы F болып табылады адал, содан кейін E' және E изоморфты егер және егер болса функциялар бар

осындай

Қабылдау тмен ішіндегі сәйкестіктің тұрақты функциялары болу G, біз негізі бірдей екі талшық байламы, талшық, құрылым тобы, тривиализациялаушы аудандар және ауысу функциялары изоморфты екенін көреміз.

Ұқсас теорема тегіс санатта болады, мұндағы X және Y болып табылады тегіс коллекторлар, G Бұл Өтірік тобы тегіс сол жақ әрекетімен Y және карталар тиж барлығы тегіс.

Құрылыс

Теореманың дәлелі сындарлы. Яғни, ол берілген қасиеттері бар талшықтар орамасын шынымен құрастырады. Біреуі алудан басталады бірлескен одақ туралы өнім кеңістігі Uмен × F

содан кейін мөлшер бойынша эквиваленттік қатынас

Жалпы кеңістік E байламы болып табылады Т/ ~ және проекциясы π: EX эквиваленттік класын жіберетін карта болып табыладымен, х, ж) дейін х. Жергілікті тривиализациялар

содан кейін анықталады

Біріктірілген байлам

Келіңіздер EX талшықпен бірге талшық байламы F және құрылым тобы Gжәне рұқсат етіңіз FAnother басқа сол жақта бол G-ғарыш. Біреуі байланысты бума құра алады E′ → X талшықпен FStructure және құрылым тобы G кез-келген жергілікті тривиализацияны қабылдау арқылы E және ауыстыру F арқылы FConstruction құрылыс теоремасында. Егер біреу алады F' болу G сол жақта көбейтудің көмегімен ассоциация алынады негізгі байлам.

Әдебиеттер тізімі

  • Шарп, Р.В. (1997). Дифференциалдық геометрия: Клейннің Эрланген бағдарламасын картаның жалпылауы. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-94732-9.
  • Штинрод, Норман (1951). Талшық шоғырларының топологиясы. Принстон: Принстон университетінің баспасы. ISBN  0-691-00548-6. I бөлімді қараңыз, §2.10 және §3.