Төрт спиральды жартылай топ - Four-spiral semigroup

Жылы математика, төрт спиральды жартылай топ ерекше жартылай топ төрт құрды идемпотентті элементтер. Бұл арнайы жартылай топты Карл Байлин алғаш рет докторлық диссертацияда зерттеген Небраска университеті 1977 ж.^[1][2] Оның бірнеше қызықты қасиеттері бар: бұл екі қарапайым, бірақ қарапайым емес жартылай топтардың маңызды мысалдарының бірі;^[3] бұл сонымен қатар іргетастың маңызды мысалы тұрақты жартылай топ;^[2] бұл икемді, идемпотентті тұрақты жартылай топтардың таптырмас құрылыс материалы.^[2] Шақырылған белгілі бір жартылай топ қос спиральды жартылай топ, бес идемпотентті элементтер тудыратын төрт спиральды жартылай топпен бірге зерттелген.^[4][2]

Анықтама

Деп белгіленген төрт спиральды жартылай топ Sp₄, болып табылады тегін жартылай топ төрт элементтен құралған а, б, c, және г. келесі он бір шартты қанағаттандыру:^[2]

• а² = а, б² = б, c² = c, г.² = г..
• аб = б, ба = а, б.з.д. = б, cb = c, CD = г., dc = c.
• да = г..

Шарттардың бірінші жиынтығы элементтер екенін білдіреді а, б, c, г. идемпотенттер болып табылады. Шарттардың екінші жиынтығы мұны білдіреді a R b L c R d қайда R және L болып табылады Гриннің қатынастары жартылай топта. Үшінші жиындағы жалғыз шартты былай жазуға болады г. ω^л а, қайда ω^л Бұл биордерлік қатынас арқылы анықталады Nambooripad. Төмендегі диаграмма арасындағы әр түрлі қатынастарды қорытындылайды а, б, c, г.:

${ displaystyle { begin {matrix} && { mathcal {R}} && & a & longleftrightarrow & b & omega ^ {l} & { Big uparrow} && { Big updownarrow} & { mathcal {L}} & d & longleftrightarrow & c & && { mathcal {R}} && end {matrix}}}$

Төрт спиральды жартылай топтың элементтері

Спираль құрылымы идемпотенттер төрт спиральді жартылай топта Sp4. Бұл диаграммада сол қатардағы элементтер орналасқан R байланысты, сол бағандағы элементтер L байланысты және тапсырыс төрт диагональ бойынша жүреді (орталықтан алыс).

Төрт спиральді жартылай топтың құрылымы Sp4. Идемпотенттер жиынтығы (қызыл түсті нүктелер) және A, B, C, D, E кіші топтары көрсетілген.^[4]

Жалпы элементтер

-Ның әрбір элементі Sp₄ келесі формалардың бірінде ерекше түрде жазылуы мүмкін:^[2]

[c] (ак)^м [a]

[г.] (bd)ⁿ [б]

[c] (ак)^м жарнама (bd)ⁿ [б]

қайда м және n теріс емес бүтін сандар болып табылады және квадрат жақшалардағы мүшелер қалған өнім бос болмайынша алынып тасталуы мүмкін. Бұл элементтердің формалары оны білдіреді Sp₄ бар бөлім Sp₄ = A ∪ B ∪ C ∪ Д. ∪ E қайда

A = { а(шамамен)ⁿ, (bd)ⁿ⁺¹, а(шамамен)^мг.(bd)ⁿ : м, n теріс емес бүтін сандар}

B = { (ак)ⁿ⁺¹, б(db)ⁿ, а(шамамен)^м(db) ⁿ⁺¹ : м, n теріс емес бүтін сандар}

C = { c(ак)^м, (db)ⁿ⁺¹, (шамамен)^м+1(db)ⁿ⁺¹ : м, n теріс емес бүтін сандар}

Д. = { г.(bd)ⁿ, (шамамен)^м+1(db)ⁿ⁺¹г. : м, n теріс емес бүтін сандар}

E = { (шамамен)^м : м оң бүтін сан}

Жинақтар A, B, C, Д. болып табылады бициклді жартылай топтар, E шексіз циклдық жартылай топ және кіші топ Д. ∪ E Бұл тұрақты емес жартылай топ.

Импотентті элементтер

Идемпотенттер жиынтығы Sp₄,^[5] бұл {а_n, б_n, c_n, г._n : n = 0, 1, 2, ...} қайда, а₀ = а, б₀ = б, c₀ = c, г.₀ = г., және үшін n = 0, 1, 2, ....,

а_n+1 = а(шамамен)ⁿ(db)ⁿг.

б_n+1 = а(шамамен)ⁿ(db)ⁿ⁺¹

c_n+1 = (шамамен)ⁿ⁺¹(db)ⁿ⁺¹

г._n+1 = (шамамен)ⁿ⁺¹(db)^{n+ л}г.

Қосымша топтардағы идемпотенттер жиынтығы A, B, C, Д. (ішкі топта идемпотенттер жоқ E) сәйкесінше:

E_A = { а_n : n = 0,1,2, ... }

E_B = { б_n : n = 0,1,2, ... }

E_C = { c_n : n = 0,1,2, ... }

E_Д. = { г._n : n = 0,1,2, ... }

Төрт спиральды жартылай топ Рис-матрицалық жартылай топ ретінде

Келіңіздер S барлық төртбұрыштардың жиынтығы бол (р, х, ж, с) қайда р, с, ∈ {0, 1} және х және ж теріс емес бүтін сандар болып табылады және екілік операцияны анықтайды S арқылы

${ displaystyle (r, x, y, s) * (t, z, w, u) = { begin {case} (r, x-y + max (y, z + 1), max (y-) 1, z) -z + w, u) & { text {if}} s = 0, t = 1 (r, x-y + max (y, z), max (y, z) -) z + w, u) & { text {әйтпесе.}} end {case}}}$

Жинақ S осы операциямен а Рис матрицасының жартылай тобы үстінен бициклді жартылай топ және төрт спиральды жартылай топ Sp₄ изоморфты болып табылады S.^[2]

Қасиеттері

• Өзінің анықтамасы бойынша төрт спиральды жартылай топ - бұл идемпотентті құрылған жартылай топ (Sp₄ төрт идемпотент жасайды а, б. c, г..)
• Төрт спиральды жартылай топ - бұл іргелі жартылай топ, яғни сәйкес келетін жалғыз топ Sp₄ ол Жасылдың қатынасында болады H жылы Sp₄ теңдік қатынасы болып табылады.

Екі спиральды жартылай топ

The іргелі екі спиральді жартылай топ, деп белгіленеді DSp₄, бұл бес элемент тудыратын жартылай топ а, б, c, г., e келесі шарттарды қанағаттандыру:^[2][4]

• а² = а, б² = б, c² = c, г.² = г., e² = e
• аб = б, ба = а, б.з.д. = б, cb = c, CD = г., dc = c, де = г., ред = e
• ае = e, еа = e

Шарттардың бірінші жиынтығы элементтер екенін білдіреді а, б, c, г., e идемпотенттер болып табылады. Шарттардың екінші жиынтығында осы иппотенттер арасындағы Жасыл қатынастар, атап айтқанда, a R b L c R d L e. Үшінші шарттағы екі шарт осыны білдіреді e ω а мұндағы ω биордерлік қатынас ω = ω ретінде анықталды^л ∩ ω^р.

Әдебиеттер тізімі