Бөлшек лаплаций - Fractional Laplacian

Жылы математика, бөлшек лаплаций - бұл бөлшек дәрежеге дейінгі кеңістіктік туындылар ұғымын жалпылайтын оператор.

Анықтама

Үшін ${ displaystyle 0$, s ретті бөлшек лаплаций ${ displaystyle (- Delta) ^ {s}}$ функциялар бойынша анықтауға болады ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {d} rightarrow mathbb {R}}$ сияқты Фурье көбейткіші формула бойынша берілген

${ displaystyle { mathcal {F}} ((- Delta) ^ {s} f)) ( xi) = | xi | ^ {2s} { mathcal {F}} (f) ( xi) }$

қайда Фурье түрлендіруі ${ displaystyle { mathcal {F}} (f)}$ функцияның ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {d} rightarrow mathbb {R}}$ арқылы беріледі

${ displaystyle { mathcal {F}} (f) ( xi) = int limits _ { mathbb {R} ^ {d}} {f (x) e ^ {- ix cdot xi} , dx}.}$

Нақтырақ айтсақ, бөлшек лаплацианды а түрінде жазуға болады сингулярлық интегралдық оператор арқылы анықталады

${ displaystyle (- Delta) ^ {s} f (x) = c_ {d, s} int limits _ { mathbb {R} ^ {d}} {{ frac {f (x) -f (y)} {| xy | ^ {d + 2s}}} , dy}}$

қайда ${ displaystyle c_ {d, s} = { frac {4 ^ {s} Gamma (d / 2 + s)} { pi ^ {d / 2} | Gamma (-s) |}}}$. Осы екі анықтама, басқа бірнеше анықтамалармен бірге,^[1] баламалы болып табылады.

Кейбір авторлар бөлшектік лаплаций тәртіпті s анықтау конвенциясын қабылдағанды ​​жөн көреді ${ displaystyle (- Delta) ^ {s / 2}}$ (жоғарыда анықталғандай), қазір қайда ${ displaystyle 0$, тәртіп ұғымы а (псевдо-) дифференциалдық оператор.

Сондай-ақ қараңыз