G-күту - G-expectation

Жылы ықтималдықтар теориясы, g-күту Бұл сызықтық емес күту артқа негізделген стохастикалық дифференциалдық теңдеу (BSDE) бастапқыда Shige Peng.^[1]

Анықтама

Ықтималдық кеңістігі берілген ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, mathbb {P})}$ бірге ${ displaystyle (W_ {t}) _ {t geq 0}}$ Бұл (г.-өлшемді) Wiener процесі (сол кеңістікте). Берілген сүзу жасаған ${ displaystyle (W_ {t})}$ , яғни ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t} = sigma (W_ {s}: s in [0, t])}$ , рұқсат етіңіз ${ displaystyle X}$ болуы ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {T}}$ өлшенетін. Берілген BSDE-ді қарастырайық:

{ displaystyle { begin {aligned} dY_ {t} & = g (t, Y_ {t}, Z_ {t}) , dt-Z_ {t} , dW_ {t} Y_ {T} & = X end {aligned}}}

Содан кейін g-күту ${ displaystyle X}$ арқылы беріледі ${ displaystyle mathbb {E} ^ {g} [X]: = Y_ {0}}$ . Егер болса ${ displaystyle X}$ болып табылады м-өлшемді вектор, содан кейін ${ displaystyle Y_ {t}}$ (әр уақыт үшін ${ displaystyle t}$ ) болып табылады м-өлшемді вектор және ${ displaystyle Z_ {t}}$ болып табылады ${ displaystyle m times d}$ матрица.

Шын мәнінде шартты күту арқылы беріледі ${ displaystyle mathbb {E} ^ {g} [X mid { mathcal {F}} _ {t}]: = Y_ {t}}$ және шартты күтуге арналған ресми анықтамаға ұқсас ${ displaystyle mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} mathbb {E} ^ {g} [X mid { mathcal {F}} _ {t}]] = mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} X]}$ кез келген үшін ${ displaystyle A in { mathcal {F}} _ {t}}$ (және ${ displaystyle 1}$ функциясы индикатор функциясы ).^[1]

Барлығы және бірегейлігі

Келіңіздер ${ displaystyle g: [0, T] times mathbb {R} ^ {m} times mathbb {R} ^ {m times d} to mathbb {R} ^ {m}}$ қанағаттандыру:

${ displaystyle g ( cdot, y, z)}$ болып табылады ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t}}$ -бейімделген процесс әрқайсысы үшін ${ displaystyle (y, z) in mathbb {R} ^ {m} times mathbb {R} ^ {m times d}}$
${ displaystyle int _ {0} ^ {T} | g (t, 0,0) | , dt in L ^ {2} ( Omega, { mathcal {F}} _ {T}, mathbb {P})}$ The L2 кеңістігі (қайда ${ displaystyle | cdot |}$ - бұл норма ${ displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$ )
${ displaystyle g}$ болып табылады Липшиц үздіксіз жылы ${ displaystyle (y, z)}$ , яғни әрқайсысы үшін ${ displaystyle y_ {1}, y_ {2} in mathbb {R} ^ {m}}$ және ${ displaystyle z_ {1}, z_ {2} in mathbb {R} ^ {m times d}}$ Бұдан шығатыны ${ displaystyle | g (t, y_ {1}, z_ {1}) - g (t, y_ {2}, z_ {2}) | leq C (| y_ {1} -y_ {2} | + | z_ {1} -z_ {2} |)}$ тұрақты үшін ${ displaystyle C}$

Содан кейін кез-келген кездейсоқ шама үшін ${ displaystyle X in L ^ {2} ( Omega, { mathcal {F}} _ {t}, mathbb {P}; mathbb {R} ^ {m})}$ теңдесі жоқ жұп бар ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t}}$ - бейімделген процестер ${ displaystyle (Y, Z)}$ стохастикалық дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын.^[2]

Атап айтқанда, егер ${ displaystyle g}$ қосымша:

${ displaystyle g}$ уақыт бойынша үздіксіз ( ${ displaystyle t}$ )
${ displaystyle g (t, y, 0) equiv 0}$ барлығына ${ displaystyle (t, y) in [0, T] times mathbb {R} ^ {m}}$

содан кейін терминалды кездейсоқ шама үшін ${ displaystyle X in L ^ {2} ( Omega, { mathcal {F}} _ {t}, mathbb {P}; mathbb {R} ^ {m})}$ бұл шешім жүреді ${ displaystyle (Y, Z)}$ шаршы интегралды. Сондықтан ${ displaystyle mathbb {E} ^ {g} [X | { mathcal {F}} _ {t}]}$ барлық уақытта біріктірілетін квадрат ${ displaystyle t}$ .^[3]

Сондай-ақ қараңыз

Күтілетін мән
Choquet күту
Тәуекел шарасы - кез келген уақыт сәйкес келеді дөңес тәуекел шарасы деп жазуға болады ${ displaystyle rho _ {g} (X): = mathbb {E} ^ {g} [- X]}$ ^[4]

Пайдаланылған әдебиеттер

^ ^а ^б Филипп Брианд; Франсуа Коке; Ин Ху; Жан Мэмин; Shige Peng (2000). «BSDE-ге арналған салыстырмалы теорема және g-күтудің ұқсас қасиеттері» (PDF). Ықтималдықтағы электрондық байланыс. 5 (13): 101–117. дои:10.1214 / ecp.v5-1025. Алынған 2 тамыз, 2012.
^ Пенг, С. (2004). «Сызықты емес күтулер, сызықтық емес бағалау және тәуекел шаралары». Қаржының стохастикалық әдістері (PDF). Математикадан дәрістер. 1856. 165–138 бб. дои:10.1007/978-3-540-44644-6_4. ISBN 978-3-540-22953-7. Архивтелген түпнұсқа (PDF) 2016 жылғы 3 наурызда. Алынған 9 тамыз, 2012.
^ Чен, З .; Чен Т .; Дэвисон, М. (2005). «Шокетті күту және Пенгті күту». Ықтималдық шежіресі. 33 (3): 1179. arXiv:математика / 0506598. дои:10.1214/009117904000001053.
^ Розазза Гианин, Е. (2006). «G-күту арқылы тәуекелдер шаралары». Сақтандыру: математика және экономика. 39: 19–65. дои:10.1016 / j.insmatheco.2006.01.002.

[BCHMP-1] а ^б Филипп Брианд; Франсуа Коке; Ин Ху; Жан Мэмин; Shige Peng (2000). «BSDE-ге арналған салыстырмалы теорема және g-күтудің ұқсас қасиеттері» (PDF). Ықтималдықтағы электрондық байланыс. 5 (13): 101–117. дои:10.1214 / ecp.v5-1025. Алынған 2 тамыз, 2012.

[Peng04-2] Пенг, С. (2004). «Сызықты емес күтулер, сызықтық емес бағалау және тәуекел шаралары». Қаржының стохастикалық әдістері (PDF). Математикадан дәрістер. 1856. 165–138 бб. дои:10.1007/978-3-540-44644-6_4. ISBN 978-3-540-22953-7. Архивтелген түпнұсқа (PDF) 2016 жылғы 3 наурызда. Алынған 9 тамыз, 2012.

[Choquet+g-expectation-3] Чен, З .; Чен Т .; Дэвисон, М. (2005). «Шокетті күту және Пенгті күту». Ықтималдық шежіресі. 33 (3): 1179. arXiv:математика / 0506598. дои:10.1214/009117904000001053.

[4] Розазза Гианин, Е. (2006). «G-күту арқылы тәуекелдер шаралары». Сақтандыру: математика және экономика. 39: 19–65. дои:10.1016 / j.insmatheco.2006.01.002.

[1]

[2]

[3]

[4]