Гаусс-Лагере квадратурасы - Gauss–Laguerre quadrature

Жылы сандық талдау Гаусс-Лагере квадратурасы (атымен Карл Фридрих Гаусс және Эдмонд Лагер ) кеңейту болып табылады Гаусс квадратурасы келесі типтегі интегралдардың мәнін жуықтау әдісі:

{displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} e ^ {- x} f (x), dx.}

Бұл жағдайда

{displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} e ^ {- x} f (x), dxapprox sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} f (x_ {i})}

қайда х_мен болып табылады мен-тамыр Лагералық көпмүше L_n(х) және салмағы w_мен арқылы беріледі^[1]

{displaystyle w_ {i} = {frac {x_ {i}} {сол жақ (n + 1 түн) ^ {2} сол [L_ {n + 1} сол (x_ {i} түн) түн] ^ {2}}} .}

Жалпы функциялар үшін

Функцияны біріктіру үшін ${displaystyle f}$ біз келесі түрлендіруді қолданамыз

{displaystyle int _ {0} ^ {infty} f (x), dx = int _ {0} ^ {infty} f (x) e ^ {x} e ^ {- x}, dx = int _ {0} ^ {сәйкес емес} g (x) e ^ {- x}, dx}

қайда ${displaystyle gleft (xight): = e ^ {x} fleft (xight)}$ . Соңғы интеграл үшін Гаусс-Лагер квадратурасын қолданады. Назар аударыңыз, бұл тәсіл аналитикалық тұрғыдан жұмыс істегенімен, ол әрдайым тұрақты бола бермейді.

Жалпыланған Гаусс-Лагере квадратурасы

Жалпы, белгілі интегралдарды қарастыруға болады ${displaystyle x ^ {альфа}}$ ат-күш заңы х= 0, кейбір нақты сан үшін ${displaystyle альфа> -1}$ , форманың интегралына әкелетін:

{displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} x ^ {альфа} e ^ {- x} f (x), dx.}

Бұл жағдайда салмақтар беріледі^[2] тұрғысынан жалпыланған лагералық көпмүшелер:

{displaystyle w_ {i} = {frac {Гамма (n + альфа +1) x_ {i}} {n! (n + 1) ^ {2} [L_ {n + 1} ^ {(альфа)} (x_ {i})] ^ {2}}} ,,}

қайда ${displaystyle x_ {i}}$ тамырлары болып табылады ${displaystyle L_ {n} ^ {(альфа)}}$ .

Бұл көпмүшелікке немесе тегіске осындай интегралдарды тиімді бағалауға мүмкіндік береді f(х) α бүтін сан болмаса да.^[3]

Пайдаланылған әдебиеттер

^ Теңдеу 25.4.45 дюйм Абрамовиц, М.; Стегун, I. А. Математикалық функциялар туралы анықтамалық. Довер. ISBN 978-0-486-61272-0. 10-шы түзетулермен қайта басу.
^ Вайсштейн, Эрик В., «Лагер-Гаусс квадратурасы» MathWorld сайтынан - Wolfram веб-ресурсы, кірілген 9 наурыз 2020 ж
^ Рабиновиц, П.; Вайсс, Г. (1959). «Абсцисса кестелері және формадағы интегралдарды сандық бағалауға арналған салмақтар ${displaystyle int _ {0} ^ {infty} exp (-x) x ^ {n} f (x), dx}$ ". Математикалық кестелер және есептеудің басқа құралдары. 13: 285–294. дои:10.1090 / S0025-5718-1959-0107992-3.

Әрі қарай оқу

Зальцер, Х. Е .; Цукер, Р. (1949). «Алғашқы он бес лагералық көпмүшелердің нөлдік және салмақ коэффициенттерінің кестесі». Американдық математикалық қоғам хабаршысы. 55 (10): 1004–1012. дои:10.1090 / S0002-9904-1949-09327-8.
Конкус, П .; Кассатт, Д .; Джейниг, Г .; Мелби, Э. (1963). «Бағалауға арналған кестелер ${displaystyle int _ {0} ^ {infty} x ^ {eta} exp (-x) f (x), dx}$ Гаусс-Лагер квадратурасы бойынша «. Есептеу математикасы. 17: 245–256. дои:10.1090 / S0025-5718-1963-0158534-9.
Шао, Т.С .; Чен, Т .; Фрэнк, Р.М. (1964). «Нөлдер кестесі және белгілі бір ассоциацияланған Лагера көпмүшелерінің және оларға қатысты гермиттік полиномдардың салмақтары». Есептеу математикасы. 18 (88): 598–616. дои:10.1090 / S0025-5718-1964-0166397-1. JSTOR 2002946. МЫРЗА 0166397.
Эрих, С. (2002). «Гаусс-Лагере және Гаусс-Гермит квадратурасының формативтерінің кеңейтілген кеңейтімдері туралы». Есептеу және қолданбалы математика журналы. 140 (1–2): 291–299. дои:10.1016 / S0377-0427 (01) 00407-1.

Сыртқы сілтемелер

Гаусс-Лагере квадратурасына арналған Matlab режимі
Жалпыланған Гаусс-Лагер квадратурасы, ақысыз бағдарламалық жасақтама Matlab, C ++ және Fortran-да.