Гирациялық тензор - Gyration tensor

Жылы физика, айналу тензоры Бұл тензор екіншісін сипаттайтын сәттер жинағының жағдайы бөлшектер

${displaystyle S_ {mn} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} r_ {m} ^ {(i)} r_ { n} ^ {(i)}}$

қайда ${displaystyle r_ {m} ^ {(i)}}$ болып табылады ${displaystyle mathrm {m ^ {th}}}$ Декарттық координат позиция вектор ${displaystyle mathbf {r} ^ {(i)}}$ туралы ${displaystyle mathrm {i ^ {th}}}$ бөлшек. The шығу тегі туралы координаттар жүйесі таңдалды

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} mathbf {r} ^ {(i)} = 0}$

яғни жүйесінде масса орталығы ${displaystyle r_ {CM}}$. Қайда

${displaystyle r_ {CM} = {frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} mathbf {r} ^ {(i)}}$

Математикалық бірдей, бірақ балама есептеу әдісін беретін тағы бір анықтама:

${displaystyle S_ {mn} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {1} {2N ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {N} sum _ {j = 1} ^ {N} (r_ {m} ^ {(i)} - r_ {m} ^ {(j)}) (r_ {n} ^ {(i)} - r_ {n} ^ {(j)})}$

Демек, декарттық координаттардағы бөлшектер үшін гиряция тензорының x-y компоненті:

${displaystyle S_ {xy} = {frac {1} {2N ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {N} sum _ {j = 1} ^ {N} (x_ {i} -x_ {) j}) (y_ {i} -y_ {j})}$

Континуум шегінде,

${displaystyle S_ {mn} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {dfrac {int dmathbf {r} ho (mathbf {r}) r_ {m} r_ {n}} {int dmathbf {r} ho ( mathbf {r})}}}$

қайда ${displaystyle ho (mathbf {r})}$ позициядағы бөлшектердің сандық тығыздығын білдіреді ${displaystyle mathbf {r}}$.

Олар әр түрлі бірліктерге ие болғанымен, гиряция тензоры инерция моменті тензор. Негізгі айырмашылық - бөлшектердің позициялары бойынша өлшенеді масса инерция тензорында, ал гиряция тензоры тек бөлшектердің орналасуына байланысты; массасы гиряция тензорын анықтауда ешқандай рөл атқармайды.

Диагоналдау

Гирациялық тензор симметриялы 3х3 болғандықтан матрица, а Декарттық координаттар жүйесі диагональды болатынын табуға болады

${displaystyle mathbf {S} = {egin {bmatrix} lambda _ {x} ^ {2} & 0 & 0 0 & lambda _ {y} ^ {2} & 0 0 & 0 & lambda _ {z} ^ {2} end {bmatrix}}}$

мұнда осьтер диагональды элементтер реттелген етіп таңдалады ${displaystyle lambda _ {x} ^ {2} leq lambda _ {y} ^ {2} leq lambda _ {z} ^ {2}}$. Бұл диагональды элементтер деп аталады негізгі сәттер гиряция тензорының.

Пішіннің дескрипторлары

Бөлшектердің таралуын сипаттайтын бірнеше параметрлерді беру үшін негізгі моменттерді біріктіруге болады. Квадрат айналу радиусы - бұл негізгі моменттердің қосындысы

${displaystyle R_ {g} ^ {2} = lambda _ {x} ^ {2} + lambda _ {y} ^ {2} + lambda _ {z} ^ {2}}$

The сфералық ${displaystyle b}$ арқылы анықталады

${displaystyle b {stackrel {mathrm {def}} {=}} lambda _ {z} ^ {2} - {frac {1} {2}} қалды (lambda _ {x} ^ {2} + lambda _ {y } ^ {2} ight) = {frac {3} {2}} lambda _ {z} ^ {2} - {frac {R_ {g} ^ {2}} {2}}}$

ол әрқашан теріс емес және үш негізгі момент тең болғанда ғана нөлге тең, λ_х = λ_ж = λ_з. Бұл нөлдік шарт бөлшектердің таралуы сфералық симметриялы болған кезде орындалады (осылай аталуы керек сфералық) сонымен қатар бөлшектердің таралуы үш координаталық осьтерге қатысты симметриялы болған кезде, мысалы, бөлшектер а-ға біркелкі бөлінгенде текше, тетраэдр немесе басқа Платондық қатты зат.

Сол сияқты ацилиндрия ${displaystyle c}$ арқылы анықталады

${displaystyle c {stackrel {mathrm {def}} {=}} lambda _ {y} ^ {2} -lambda _ {x} ^ {2}}$

ол әрқашан теріс емес және екі негізгі момент тең болғанда ғана нөлге тең, λ_х = λ_ж.Бөлшектердің таралуы цилиндрлік симметриялы болған кезде бұл нөлдік шарт орындалады (осылай аталады, ацилиндрия), сонымен қатар бөлшектердің таралуы екі координаталық осьтерге қатысты симметриялы болған сайын, мысалы, бөлшектер а-ға біркелкі бөлінгенде тұрақты призма.

Соңында, салыстырмалы пішінді анизотропия ${displaystyle kappa ^ {2}}$ анықталды

${displaystyle kappa ^ {2} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {b ^ {2} + (3/4) c ^ {2}} {R_ {g} ^ {4}}} = {frac {3} {2}} {frac {lambda _ {x} ^ {4} + lambda _ {y} ^ {4} + lambda _ {z} ^ {4}} {(lambda _ {x} ^ {2} + lambda _ {y} ^ {2} + lambda _ {z} ^ {2}) ^ {2}}} - {frac {1} {2}}}$

ол нөл мен бірдің арасында шектеледі. ${displaystyle kappa ^ {2}}$ = 0 барлық нүктелер сфералық симметриялы болған жағдайда ғана пайда болады, және ${displaystyle kappa ^ {2}}$ = 1 барлық нүктелер түзудің бойында жатқанда ғана пайда болады.

Әдебиеттер тізімі

• Mattice, WL; Сутер, UW (1994). Ірі молекулалардың конформациялық теориясы. Wiley Interscience. ISBN  0-471-84338-5.
• Теодору, Д.Н; Сутер, UW (1985). «Мазасыз сызықты полимерлердің пішіні: полипропилен». Макромолекулалар. 18 (6): 1206–1214. Бибкод:1985MaMol..18.1206T. дои:10.1021 / ma00148a028.