Краснерлер леммасы - Krasners lemma - Wikipedia

Жылы сандар теориясы, нақтырақ айтқанда б-адикалық талдау, Краснер леммасы қатысты негізгі нәтиже болып табылады топология а толық архимедиялық емес өріс оған алгебралық кеңейтулер.

Мәлімдеме

Келіңіздер Қ толық архимедтік емес өріс болыңыз және рұқсат етіңіз Қ болуы а ажыратылатын жабу туралы Қ. Α элементі берілген Қ, оны белгілеңіз Галуа конъюгаттары арқылы α₂, ..., α_n. Краснер леммасында:^[1][2]

егер элемент болса β туралы Қ осындай

${ displaystyle left | альфа - бета оң | < сол | альфа - альфа _ {i} оң | { мәтін {үшін}} i = 2, нүкте, n}$

содан кейін Қ(α) ⊆ Қ(β).

Қолданбалар

• Мұны көрсету үшін Краснер леммасын қолдануға болады ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$- түбегейлі аяқтау және ажыратылатын жабу ғаламдық өрістер жүру.^[3] Басқаша айтқанда, берілген ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ а қарапайым ғаламдық өріс L, жабылатын ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$- түбегейлі аяқтау L тең ${ displaystyle { overline { mathfrak {p}}}}$-бөлінетін жабылудың түбегейлі аяқталуы L (қайда ${ displaystyle { overline { mathfrak {p}}}}$ ең қарапайым L жоғарыда ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$).
• Тағы бір қосымша - оны дәлелдеуге арналған C_б - алгебралық жабылуын аяқтау Q_б - болып табылады алгебралық жабық.^[4][5]

Жалпылау

Краснер леммасында келесі жалпылама бар.^[6]Моникалық көпмүшені қарастырайық

${ displaystyle f ^ {*} = prod _ {k = 1} ^ {n} (X- alpha _ {k} ^ {*})}$

дәрежесі n > А коэффициентімен Генсель өрісі (Қ, v) және алгебралық жабылуындағы тамырлар Қ. Келіңіздер Мен және Дж {1, ..., бірігуімен екі бөлінбеген, бос емес жиындар болn}. Сонымен қатар, аполиномды қарастырыңыз

${ displaystyle g = prod _ {i in I} (X- alpha _ {i})}$

коэффициенттерімен және тамырларымен Қ. Болжам

${ displaystyle forall i in I forall j in J: v ( alpha _ {i} - alpha _ {i} ^ {*})> v ( alpha _ {i} ^ {*} - альфа _ {j} ^ {*}).}$

Онда көпмүшелердің коэффициенттері

${ displaystyle g ^ {*}: = prod _ {i in I} (X- alpha _ {i} ^ {*}), h ^ {*}: = prod _ {j in J } (X- альфа _ {j} ^ {*})}$

өрісінің кеңейтілімінде қамтылған Қ коэффициенттері негізінде түзілген ж. (Түпнұсқа Краснер леммасы жағдайға сәйкес келеді ж дәрежесі бар.)

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Бринк, Дэвид (2006). «Хенсел Леммасына жаңа нұр». Mathematicae экспозициялары. 24 (4): 291–306. дои:10.1016 / j.exmath.2006.01.002. ISSN  0723-0869. Zbl  1142.12304.
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. II том: Құрылымы, алгебралары және кеңейтілген тақырыптары бар өрістер. Шпрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.
• Наркиевич, Владислав (2004). Алгебралық сандардың элементарлы және аналитикалық теориясы. Математикадан спрингер монографиялары (3-ші басылым). Берлин: Шпрингер-Верлаг. б. 206. ISBN  3-540-21902-1. Zbl  1159.11039.
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Wingberg, Kay (2008), Сан өрістерінің когомологиясы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Екінші басылым), Берлин: Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-3-540-37888-4, МЫРЗА  2392026, Zbl  1136.11001