Левенхайм нөмірі - Löwenheim number

Жылы математикалық логика The Левенхайм нөмірі туралы дерексіз логика ең кішісі негізгі нөмір ол үшін әлсіз төмен Левенхайм-Школем теоремасы ұстайды.^[1] Олар осылай аталады Леопольд Левенхайм, бұл логиканың өте кең класы үшін бар екенін кім дәлелдеді.

Абстрактілі логика

Лювенхайм сандары үшін дерексіз логика мыналардан тұрады:

• «Сөйлемдер» жинағы;
• «Модельдер» жинағы, олардың әрқайсысына кардинал берілген;
• Белгілі бір сөйлемді белгілі бір модель «қанағаттандырады» деген сөйлемдер мен модельдер арасындағы байланыс.

Теорема сөйлемдердің немесе үлгілердің немесе қанағаттану қатынастарының қандай да бір ерекше қасиеттерін қажет етпейді және олар әдеттегідей болмауы мүмкін бірінші ретті логика. Осылайша, ол логиканың өте кең жинағына, соның ішінде қолданылады бірінші ретті логика, жоғары ретті логика, және шексіз логика.

Анықтама

Лювенхейм логикасының саны L - ең кіші кардинал is, өйткені егер ерікті сөйлем болса L кез-келген моделі бар, сөйлемде inal-ден аспайтын кардинал моделі бар.

Лювенхейм келесі дәлелді қолдана отырып, сөйлемдер жиынтығы жиынтық құрайтын кез-келген логика үшін осы кардиналдың бар екендігін дәлелдеді. Осындай логиканы ескере отырып, әрбір each сөйлемі үшін κ болсын_φ φ моделінің ең кіші маңыздылығы, егер φ кез келген моделі болса және κ болсын_φ әйтпесе 0 болуы керек. Содан кейін кардиналдар жиынтығы

{κ_φ : φ - сөйлем L }

бар ауыстыру аксиомасы. Бұл жиынтықтың супремумы, Лувенхайм саны L. Бұл дәлел конструктивті емес: ол Лювенхайм санының бар екендігін дәлелдейді, бірақ оны есептеудің жедел әдісін ұсынбайды.

Кеңейтімдер

Анықтаманың екі кеңейтімі қарастырылды:^[2]

• The Левенхайм – Школем нөмірі дерексіз логиканың L ең кіші кардинал κ, егер сөйлемдер жиынтығы болса Т ⊆ L моделі бар, содан кейін өлшемінен үлкен емес моделі болады макс (|Т|, κ).
• The Левенхайм-Школем-Тарский нөмірі туралы L ең кішкентай кардинал, егер ол болса A кез келген құрылым болып табылады L бар қарапайым ішкі құрылым туралы A өлшемі κ аспайды. Бұл үшін логиканың «элементарлы құрылым» ұғымының болуы қажет, мысалы, предикаттық логикадан «құрылымның» қалыпты анықтамасын қолдану арқылы.

Сандар бар кез-келген логика үшін Левенхайм-Школем-Тарский саны Лювенхайм-Школем санынан кем болмайды, ал ол өз кезегінде Левенхайм санынан кем болмайды.

Мысалдар

• The Левенхайм-Школем теоремасы Лювенхайм-Школем-Тарский бірінші ретті логиканың саны ℵ екенін көрсетеді₀. Бұл, атап айтқанда, егер бірінші ретті логиканың сөйлемі қанағаттанарлық болса, онда сөйлем есептелетін модельде қанағаттанарлық дегенді білдіреді.
• Лювенхейм-Школем саны екені белгілі екінші ретті логика біріншіден үлкенірек өлшенетін кардинал, егер өлшенетін кардинал болса.^[3] (Және бұл сол үшін қолданылады Ханф нөмірі.) Екінші ретті логиканың левенгеймдік саны, бірақ біріншіден аз суперкомпактикалық кардинал (егер бар болса).

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Menachem Magidor және Jouko Väänänen. «Лювенхайм-Школем-Тарский сандарында бірінші ретті логиканың кеңейтілуіне арналған «, Миттаг-Леффлер институтының №15 есебі (2009/2010).
• И Чжан Логика және алгебра 2002. ISBN  0-8218-2984-X