Модульдік формалардың сақинасы - Ring of modular forms - Wikipedia

Математикада модульдік формалардың сақинасы байланысты кіші топ Γ туралы арнайы сызықтық топ SL (2, З) болып табылады дәрежелі сақина арқылы жасалған модульдік формалар туралы Γ. Модульдік формалардың сақиналарын зерттеу модульдік формалар кеңістігінің алгебралық құрылымын сипаттайды.

Анықтама

Келіңіздер Γ кіші тобы болуы керек SL (2, З) бұл ақырлы индекс және рұқсат етіңіз М_к(Γ) болуы векторлық кеңістік салмақтың модульдік формалары к. Модульдік формаларының сақинасы Γ деңгейлі сақина ${ displaystyle M ( Gamma) = bigoplus _ {k geq 0} M_ {k} ( Gamma)}$.^[1]

Мысал

Толық модульдік формалардың сақинасы модульдік топ SL (2, З) болып табылады еркін жасалады бойынша Эйзенштейн сериясы E₄ және E₆. Басқа сөздермен айтқанда, М_к(Γ) а ретінде изоморфты ${ displaystyle mathbb {C}}$-алгебра дейін ${ displaystyle mathbb {C} [E_ {4}, E_ {6}]}$, бұл көпмүшелік сақина бойынша екі айнымалы күрделі сандар.^[1]

Қасиеттері

Модульдік формалардың сақинасы - бағаланған Алгебра Өтірік жақшадан бастап ${ displaystyle [f, g] = kfg '- ell f'g}$ модульдік формалар f және ж сәйкес салмақтар к және ℓ салмақтың модульдік түрі болып табылады k + ℓ + 2.^[1] Үшін жақшаны анықтауға болады n-модульдік формалардың туындысы және осындай кронштейн а деп аталады Ранкин-Коэн жақшасы.^[1]

SL (2, Z) кіші топтары

1973 жылы, Пьер Делинь және Майкл Рапопорт модульдік формалардың сақинасы екенін көрсетті M (Γ) болып табылады түпкілікті құрылды қашан Γ Бұл үйлесімділік кіші тобы туралы SL (2, З).^[2]

2003 жылы Лев Борисов пен Пол Гуннеллс модульдік формалардың сақинасы екенін көрсетті M (Γ) болып табылады құрылған салмағы бойынша ең көп дегенде 3 ${ displaystyle Gamma}$ үйлесімділік кіші тобы болып табылады ${ displaystyle Gamma _ {1} (N)}$ бірінші деңгей N жылы SL (2, З) теориясын қолдана отырып торикалық модульдік формалар.^[3] 2014 жылы Надим Рустом Борисов пен Ганнеллстің нәтижесін кеңейтті ${ displaystyle Gamma _ {1} (N)}$ барлық деңгейлерге N сонымен қатар конгруенттік кіші топқа арналған модульдік формалардың сақинасы екенін көрсетті ${ displaystyle Gamma _ {0} (N)}$ кейбір деңгейлер үшін ең көп дегенде 6 салмақта түзіледі N.^[4]

2015 жылы Джон Войт пен Дэвид Цурейк-Браун бұл нәтижелерді жалпылау жасады: олар кез-келген сәйкестік кіші топтары үшін біркелкі салмақтың модульдік формаларының деңгейлі сақинасы екенін дәлелдеді Γ туралы SL (2, З) салмағы бойынша ең көбі 6-мен түзіледі қарым-қатынастар салмағы бойынша ең көп дегенде 12 құрайды.^[5] Осы жұмысты негізге ала отырып, 2016 жылы Аарон Ландесман, Питер Рух және Робин Чжан толық сақинада (барлық салмақта) бірдей шекаралар бар екенін көрсетті, ал жақсартылған шектер 5 және 10 болған кезде Γ кейбір нөлдік емес тақ салмақты модульдік формаға ие.^[6]

Жалпы фуксиялық топтар

A Фуксия тобы Γ сәйкес келеді орбифольд квотенттен алынған ${ displaystyle Gamma backslash mathbb {H}}$ туралы жоғарғы жарты жазықтық ${ displaystyle mathbb {H}}$. Стакты жалпылау бойынша Риманның болу теоремасы, модульдік формаларының сақинасы арасында сәйкестік бар Γ және нақты секция сақинасы -мен тығыз байланысты канондық сақина а қабаттасқан қисық.^[5]

Войт пен Цюрик-Браунның және Ландесман, Рухм мен Чжанның жұмыстарына байланысты генераторлардың салмақтары мен модульдік формалардың сақиналарының қатынастарының жалпы формуласы бар. ${ displaystyle e_ {i}}$ қабаттасқан қисықтың қабаттасқан нүктелерінің тұрақтандырғыш реті болуы керек (орбивальдтің баламалары ${ displaystyle Gamma backslash mathbb {H}}$) байланысты Γ. Егер Γ нөлдік емес тақ салмақты модульдік формалары жоқ, содан кейін модульдік формалардың сақинасы ең көп салмақта пайда болады ${ displaystyle 6 max (1, e_ {1}, e_ {2}, ldots, e_ {r})}$ және салмағы бойынша қалыптасқан қатынастар бар ${ displaystyle 12 max (1, e_ {1}, e_ {2}, ldots, e_ {r})}$.^[5] Егер Γ нөлдік емес тақ салмағы бар модульдік формаға ие, содан кейін модульдік формалардың сақинасы ең көп салмақта жасалады ${ displaystyle max (5, e_ {1}, e_ {2}, ldots, e_ {r})}$ және салмағы бойынша қалыптасқан қатынастар бар ${ displaystyle 2 max (5, e_ {1}, e_ {2}, ldots, e_ {r})}$.^[6]

Қолданбалар

Жылы жол теориясы және суперсимметриялық өлшеуіш теориясы, құрылымын зерттеу үшін модульдік формалардың сақинасының алгебралық құрылымын қолдануға болады Хиггс вакуа төрт өлшемді өлшеу теориялары N = 1-мен суперсиметрия.^[7] Тұрақтандырғыштары суперпотенциалдар жылы N = 4 суперсимметриялық Ян-Миллс теориясы үйлесімділік кіші тобының модульдік формаларының сақиналары болып табылады Γ (2) туралы SL (2, З).^[7][8]

Пайдаланылған әдебиеттер