Таңдау теоремасы - Selection theorem - Wikipedia

Жылы функционалдық талдау, математика бөлімі, а таңдау теоремасы бір мәнді болуға кепілдік беретін теорема таңдау функциясы берілген көп мәнді картадан. Әр түрлі селекциялық теоремалар бар және олар теорияларда маңызды дифференциалды қосындылар, оңтайлы бақылау, және математикалық экономика.^[1]

Алдын ала дайындық

Екі жиынтық берілген X және Y, рұқсат етіңіз F болуы а көп мәнді карта бастап X және Y. Эквивалентті, ${ displaystyle F: X rightarrow { mathcal {P}} (Y)}$функциясы болып табылады X дейін қуат орнатылды туралы Y.

Функция ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ деп аталады таңдау туралы F, егер

${ displaystyle forall x in X: , , , f (x) in F (x) ,.}$

Басқаша айтқанда, кіріс х ол үшін бастапқы функция F бірнеше мәнді қайтарады, жаңа функция f жалғыз мәнді қайтарады. Бұл а-ның ерекше жағдайы таңдау функциясы.

The таңдау аксиомасы таңдау функциясы әрқашан бар екенін білдіреді; дегенмен, таңдаудың үнемі «өлшенетін» кейбір «жағымды» қасиеттері болуы маңызды. Бұл жерде таңдау теоремалары әрекет етеді: олар кепілдік береді, егер F белгілі бір қасиеттерді қанағаттандырады, содан кейін оның таңдауы бар f үздіксіз немесе басқа да қажетті қасиеттерге ие.

Белгіленген функциялар үшін таңдау теоремалары

1. The Майкл таңдау теоремасы^[2] а болу үшін келесі шарттар жеткілікті дейді үздіксіз таңдау:

• X Бұл паракомпакт ғарыш;
• Y Бұл Банах кеңістігі;
• F болып табылады төменгі жартыжартылай;
• Барлығына х жылы X, жиынтық F(х) бос емес, дөңес және жабық.

2. Дойч-Кендеров теоремасы^[3] Майкл теоремасын былайша қорытады:

• X Бұл паракомпакт ғарыш;
• Y Бұл нормаланған векторлық кеңістік;
• F болып табылады төменгі жарты жартылай, яғни әрқайсысында ${ displaystyle x in X}$, әр аудан үшін ${ displaystyle V}$ туралы ${ displaystyle 0}$ көршілік бар ${ displaystyle U}$ туралы ${ displaystyle x}$ осындай ${ displaystyle cap _ {u in U} {F (u) + V } neq emptyset.}$
• Барлығына х жылы X, жиынтық F(х) бос емес және дөңес.

Бұл жағдайлар бұған кепілдік береді ${ displaystyle F}$ үздіксіз бар шамамен таңдау, яғни әр көршілес үшін ${ displaystyle V}$ туралы ${ displaystyle 0}$ жылы ${ displaystyle Y}$ үздіксіз функция бар ${ displaystyle f қос нүкте X mapsto Y}$ әрқайсысы үшін ${ displaystyle x in X}$, ${ displaystyle f (x) in F (X) + V}$.^[3]

Кейінгі жазбада Сю Deutsch-Kenderov теоремасы, егер ол дұрыс болса, дәлелдеді ${ displaystyle Y}$ жергілікті дөңес топологиялық векторлық кеңістік.^[4]

3. Яннелис-Прабхакар таңдау теоремасы^[5] а болу үшін келесі шарттар жеткілікті дейді үздіксіз таңдау:

• X Бұл паракомпакт Хаусдорф кеңістігі;
• Y Бұл сызықтық топологиялық кеңістік;
• Барлығына х жылы X, жиынтық F(х) бос емес және дөңес.
• Барлығына ж жылы Y, кері жиынтық F⁻¹(ж) болып табылады ашық жиынтық Х-да

4. The Куратовский мен Рилл-Нарджевскийдің өлшенетін селекциялық теоремасы а болу үшін келесі шарттар жеткілікті дейді өлшенетін таңдау:

• ${ displaystyle X}$ Бұл Поляк кеңістігі және ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ оның Борел σ-алгебра;
• ${ displaystyle Cl (X)}$ - бос емес жабық ішкі жиындарының жиынтығы ${ displaystyle X}$.
• ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}})}$ а өлшенетін кеңістік, және ${ displaystyle F: Omega to Cl (X)}$ а ${ displaystyle { mathcal {F}}}$- әлсіз өлшенетін карта (яғни әрбір ашық жиын үшін) ${ displaystyle U subseteq X}$ Бізде бар ${ displaystyle { omega in Omega: F ( omega) cap U neq emptyset } in { mathcal {F}}}$).

Содан кейін ${ displaystyle F}$ бар таңдау Бұл ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, { mathcal {B}})}$-өлшенетін.^[6]

Сондай-ақ қараңыз

Таңдау теоремаларының тізімі

Әдебиеттер тізімі