Siegel модульдік формасы - Siegel modular form

Жылы математика, Siegel модульдік формалары негізгі түрі болып табылады автоморфтық форма. Бұл әдеттегі эллиптикалық модульдік формалар олармен тығыз байланысты эллиптикалық қисықтар. Зигельдің модульдік формалары теориясында салынған күрделі коллекторлар болып табылады Siegel модульдік сорттары, бұл не үшін негізгі модельдер кеңістік абелия сорттары үшін (қосымша мөлшерде) деңгей құрылымы ) квотенты ретінде болуы керек және жасалуы керек Зигельдің жоғарғы жарты кеңістігі қарағанда жоғарғы жарты жазықтық арқылы дискретті топтар.

Siegel модульдік формалары болып табылады голоморфты функциялар жиынтығында симметриялы n × n матрицалар позитивті анық ойдан шығарылған бөлік; формалар автоморфиялық шартты қанағаттандыруы керек. Siegel модульдік формаларын көп айнымалы модульдік формалар ретінде қарастыруға болады, яғни арнайы функциялар туралы бірнеше күрделі айнымалылар.

Зигельдің модульдік формалары алғаш зерттелген Карл Людвиг Сигель  (1939 ) оқу мақсатында квадраттық формалар аналитикалық. Бұл, ең алдымен, әр түрлі тармақтарда пайда болады сандар теориясы, сияқты арифметикалық геометрия және эллиптикалық когомология. Siegel модульдік формалары кейбір салаларында да қолданылған физика, сияқты конформды өріс теориясы және қара тесік термодинамикасы жылы жол теориясы.

Анықтама

Алдын ала дайындық

Келіңіздер және анықтаңыз

The Зигельдің жоғарғы жарты кеңістігі. Анықтаңыз симплектикалық топ деңгей , деп белгіленеді сияқты

қайда болып табылады сәйкестік матрицасы. Ақырында, рұқсат етіңіз

болуы а ұтымды ұсыну, қайда ақырлы өлшемді кешен болып табылады векторлық кеңістік.

Siegel модульдік формасы

Берілген

және

белгісін анықтаңыз

Сонда а голоморфтық функция

Бұл Siegel модульдік формасы дәрежесі (кейде тұқым деп те атайды), салмақ және деңгей егер

барлығына .Ол жағдайда , біз бұдан әрі талап етеміз «шексіздікте» голоморфты болу. Бұл болжам қажет емес төменде түсіндірілген Koecher принципіне байланысты. Салмақ кеңістігін белгілеңіз , дәрежесі және деңгей Siegel модульдік формалары

Мысалдар

Siegel модульдік формаларын құрудың кейбір әдістеріне мыналар жатады:

1 деңгей, кіші дәреже

1 дәреже үшін 1 деңгей Siegel модульдік формалары 1 деңгей модуль формаларымен бірдей. Мұндай формалардың сақинасы - көпмүшелік сақина C[E4,E6] Эйзенштейн қатарында (1 дәреже) E4 және E6.

2 дәрежесі үшін, (Igusa1962, 1967 ) 1 деңгейлі Зигельдің модульдік формаларының сақинасы (2 дәрежесі) Эйзенштейн сериясы арқылы жасалатынын көрсетті E4 және E6 және тағы 10, 12 және 35 салмақ формалары. Олардың арасындағы қатынастардың идеалы 35 салмақ квадратымен құрылады, ал басқаларында белгілі бір көпмүшені алып тастайды.

3 дәрежесі үшін, Цююмине (1986) 34 генератордан тұратын Siegel модульдік формаларының деңгейінің сақинасын сипаттады.

4 дәреже үшін 1 деңгейдегі Зигельдің кішігірім салмақтарының модульдік формалары табылды. 2, 4 немесе 6 салмақтардың кесек формалары жоқ, 8 салмақ кесінділерінің кеңістігі 1 өлшемді, олардың аралықтарында орналасқан. Шоттки формасы. 10 салмақ кесінділерінің кеңістігі 1 өлшемге, 12 салмақ пішінінің кеңістігі 2 өлшемге, 14 салмақ пішініндегі кеңістік 3 өлшемге, ал 16 салмақ кесіндісінің кеңістігі 7 өлшемге ие (Poor & Yuen 2007 ).

5 дәреже үшін кесек пішіндерінің кеңістігі 10 салмақ үшін 0 өлшемі, 12 салмақ үшін 2 өлшем болады. 12 салмақ формаларының кеңістігі 5 өлшемге ие.

6 дәреже үшін 0, 2, 4, 6, 8 салмақтарының қыстырма формалары жоқ, 2 салмақтағы Зигельдің модульдік формаларының кеңістігі 0 өлшеміне, ал 4 немесе 6 салмағының екеуі де 1 өлшемге ие.

1 деңгей, салмағы аз

Кішкентай салмақтар мен 1 деңгей үшін Герцог және Имамолу (1998) келесі нәтижелерді беріңіз (кез-келген оң дәреже үшін):

  • Салмақ 0: Пішіндер кеңістігі 1-ге тең, 1-ге тең.
  • 1-салмақ: Siegel модулінің жалғыз түрі - 0.
  • 2-салмақ: Siegel модулінің жалғыз түрі - 0.
  • 3 салмақ: Siegel модулінің жалғыз түрі - 0.
  • 4 салмақ: кез-келген дәрежеде 4 салмақ формаларының кеңістігі Е-нің тета функциясымен өрілген 1-өлшемді болады.8 тор (тиісті дәрежеде). Жалғыз пішін 0 болып табылады.
  • 5 салмақ: Siegel модулінің жалғыз түрі - 0.
  • 6 салмақ: 6 салмақ формаларының кеңістігі, егер дәреже ең көбі 8 болса, 1 өлшемге, ал егер дәреже кем дегенде 9 болса, 0 өлшемге ие. Жалғыз кескін формасы - 0.
  • 7 салмақ: егер 4 немесе 7 дәрежесі болса, кесек пішіндерінің кеңістігі жоғалады.
  • 8-салмақ: 4-ші түрдегі кесінділердің кеңістігі 1-өлшемді, және Шоттки формасы ал пішіндер кеңістігі 2 өлшемді болады. Егер тұқым 8 болса, онда кесек формалары жоқ.
  • Егер тұқым салмағынан екі есе артық болса, онда кесек формалары болмайды.

Siegel модульдік формаларының 1 деңгейлі кеңістіктерінің кестесі

Келесі кесте жоғарыдағы нәтижелерді Poor & Yuen (2006) және Chenevier & Lannes (2014) және Taibi (2014).

1 деңгейлі кеңістіктің өлшемдері Siegel цус формалары: Siegel модульдік формалары
Салмақ0 дәрежесі1 дәреже2 дәреже3 дәреже4 дәреже5 дәреже6 дәреже7 дәреже8 дәреже9 дәреже10 дәреже11 дәреже12 дәреже
01: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 1
21: 10: 00: 00: 00: 00: 00: 00: 00: 00: 00: 00: 00: 0
41: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 1
61: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 00: 00: 00: 0
81: 10: 10 : 10 :11: 20: 20: 20: 20: 2
101: 10: 11: 20 : 21: 30: 31: 40: 41:0:0:
121: 11: 21: 31: 42: 62: 83: 113: 144: 182:202: 221: 231: 24
141: 10: 11: 21: 33:63: 99: 189: 27
161: 11: 22: 43: 77: 1413:2733:6083:143
181: 11: 22: 44:812:2028: 48117: 163
201: 11: 23: 56: 1122: 3376: 109486:595
221: 11: 24 : 69:1538:53186:239
241: 12: 35: 814: 22
261: 11: 25: 717: 24
281: 12: 37 : 1027: 37
301: 12: 38: 1134: 45

Koecher принципі

Деп аталатын теорема Koecher принципі егер болса бұл салмақтың Siegel модульдік түрі , 1 деңгей және дәреже , содан кейін ішкі жиындарымен шектелген форманың

қайда . Бұл теореманың қорытындысы - Зигельдің дәрежелік модульдік формалары бар Фурьенің кеңеюі және осылайша шексіздікте голоморфты болады.[1]

Физикаға қосымшалар

D1D5P жүйесінде суперсиметриялық қара саңылаулар жіптер теориясында қара саңылаулар энтропиясының микростаттарын табиғи түрде алатын функция - Сигель модульдік түрі.[2] Жалпы, Siegel модульдік формалары қара саңылауларды немесе басқа гравитациялық жүйелерді сипаттауға мүмкіндігі бар деп сипатталған.[2]

Siegel модульдік формалары орталық зарядының жоғарылауымен CFT2 отбасыларына генерациялаушы функциялар ретінде қолданылады конформды өріс теориясы, әсіресе гипотетикалық AdS / CFT корреспонденциясы.[3]

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Бұл дәлелденді Макс Кочер, Zur Theorie der Modulformen n-ten I сыныптар, Mathematische. Zeitschrift 59 (1954), 455-466. Үшін сәйкес принцип Гильберт модульдік формалары Фриц Готцкийден кейін бұрын белгілі болған, Uber eine zahlentheoretische Anwendung von Modulfunktionen zweier Veranderlicher, Математика. Энн. 100 (1928), 411-37 бб
  2. ^ а б Белин, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Джоао; Келлер, Кристоф А. (11 сәуір 2017). «Siegel модульдік формалары және қара тесік энтропиясы». Жоғары энергетикалық физика журналы. 2017 (4). arXiv:1611.04588. дои:10.1007 / JHEP04 (2017) 057.
  3. ^ Белин, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Джоао; Келлер, Кристоф А. (7 қараша 2018). «Siegel парамодулярлық формалары және AdS3 / CFT2-де сиректілігі». Жоғары энергетикалық физика журналы. 2018 (11). arXiv:1805.09336. дои:10.1007 / JHEP11 (2018) 037.