Сфералық контакт үлестіру функциясы - Spherical contact distribution function

Ықтималдық пен статистикада а сфералық контактты үлестіру функциясы, бірінші байланыс тарату функциясы,[1] немесе бос кеңістік функциясы[2] Бұл математикалық функция қатысты анықталады математикалық объектілер ретінде белгілі нүктелік процестер түрлері болып табылады стохастикалық процестер ретінде жиі қолданылады математикалық модельдер ретінде ұсынылатын физикалық құбылыстар туралы кездейсоқ орналастырылған ұпай уақытында, ғарыш немесе екеуі де.[1][3] Нақтырақ айтқанда, сфералық контактілі үлестіру функциясы ол бірінші рет кездескенде немесе нүктелік процестегі нүктемен байланысқа түскен кезде сфера радиусының ықтималдық таралуы ретінде анықталады. Бұл функцияға қарама-қарсы қоюға болады жақын көрші функциясы, нүктелік процестің кейбір нүктесіне қатысты сол нүктелік процесте ең жақын көрші нүктеге дейінгі қашықтықтың ықтималдылық үлестірімі ретінде анықталады.

Сфералық байланыс функциясы деп те аталады байланыс тарату функциясы,[2] бірақ кейбір авторлар[1] сфералық байланыс тарату функциясы жағдайындағыдай сфераны емес, жалпы жиынтыққа қатысты жанасуды үлестіру функциясын анықтаңыз.

Нүктелік процестерді зерттеу кезінде сфералық контактілі үлестіру функциялары қолданылады[2][3][4] қатысты салалары сияқты стохастикалық геометрия[1] және кеңістіктік статистика,[2][5] әр түрлі қолданылады ғылыми және инженерлік сияқты пәндер биология, геология, физика, және телекоммуникация.[1][3][6][7]

Нүктелік процестің белгіленуі

Нүктелік процестер - бұл кейбір негізінде анықталған математикалық объектілер математикалық кеңістік. Бұл процестер кеңістікте, уақытта немесе екеуінде кездейсоқ шашыраған нүктелер жиынтығын бейнелеу үшін жиі қолданылатындықтан, негізгі кеңістік әдетте г.-өлшемді Евклид кеңістігі мұнда көрсетілген , бірақ оларды көбірек анықтауға болады реферат математикалық кеңістіктер.[4]

Нүктелік процестердің бірқатар интерпретациялары бар, оларды әр түрлі типтер көрсетеді нүктелік процестің белгіленуі.[1][7] Мысалы, егер нүкте болса арқылы белгіленетін немесе нүктелік процестің мүшесі болып табылады , содан кейін мынаны жазуға болады:[1]

және кездейсоқ ретінде түсіндірілетін нүктелік процесті білдіреді орнатылды. Сонымен қатар, нүктелерінің саны кейбірінде орналасқан Борел қойды жиі жазылады:[1][5][6]

ол көрсетеді кездейсоқ шара нүктелік процестерге интерпретация. Бұл екі белгі жиі параллельде немесе бір-бірін алмастыруда қолданылады.[1][5][6]

Анықтамалар

Сфералық контакт үлестіру функциясы

The сфералық контактты үлестіру функциясы ретінде анықталады:

қайда b (o, r) Бұл доп радиусымен р шығу тегіне бағытталған o. Басқаша айтқанда, сфералық контактілі үлестіру функциясы дегеніміз - радиустың гипер-сферасында орналасқан нүктелік процесстің нүктелерінің болмауы. р.

Байланысты тарату функциясы

Сфералық контактілі үлестіру функциясын (гипер-) сферадан басқа жиынтықтар үшін жалпылауға болады . Borel жиынтығына арналған оң көлеммен (немесе нақтырақ, Лебег шарасы), байланыс тарату функциясы (құрметпен ) үшін теңдеуімен анықталады:[1]

Мысалдар

Пуассон нүктесінің процесі

Үшін Пуассон нүктесінің процесі қосулы қарқындылық өлшемімен бұл болады

бұл біртекті жағдайға айналады

қайда радиус шарының көлемін (немесе нақтырақ, Лебег шарасын) білдіреді . Ұшақта , бұл өрнек

Басқа функциялармен байланысы

Жақын маңдағы функция

Жалпы, сфералық контакт үлестіру функциясы және соған сәйкес жақын көрші функциясы тең емес. Алайда, бұл екі функция Пуассонның нүктелік процестері үшін бірдей.[1] Шын мәнінде, бұл сипаттама Пуассон процестерінің және олардың бірегей қасиетіне байланысты Пальмалардың таралуы, деп аталатын нәтиженің бір бөлігін құрайды Сливняк-Мекке[6] немесе Сливняк теоремасы.[2]

Дж-функция

Сфералық таралу функциясы екендігі Hс(р) және жақын көршінің функциясы Д.o(р) Пуассон нүктелік процесі үшін бірдей, егер нүктелік процестің деректері Пуассонның нүктелік процесінің деректері болып көрінетін болса, оны статистикалық тексеру үшін қолдануға болады. Мысалы, кеңістіктік статистикада Дж-функция барлығы үшін анықталған р ≥ 0 келесідей:[1]

Пуассон нүктелік процесі үшін Дж функциясы қарапайым Дж(р)= 1, демек оны неге а ретінде қолданады параметрлік емес деректер Пуассон процесінде жүргендей әрекет ете ме, жоқ па, соны тексеріңіз. Алайда Пуассон емес нүктелік процестерді салу мүмкін деп ойладым Дж(р)=1,[8] бірақ мұндай қарсы мысалдарды кейбіреулер «жасанды» деп санайды және басқа статистикалық тесттер үшін бар.[9]

Жалпы, Дж-функция бір әдіс ретінде қызмет етеді (басқаларына пайдалануды қосады) факторлық момент шаралары[2]) нүктелік процестегі нүктелер арасындағы өзара әрекеттесуді өлшеу.[1]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б c г. e f ж сағ мен j к л м Д.Стоян, В.С.Кендалл, Дж.Мекке және Л.Рушендорф. Стохастикалық геометрия және оның қолданылуы, басылым 2. Вили Чичестер, 1995 ж.
  2. ^ а б c г. e f А.Баддели, И.Барани және Р.Шнайдер. Кеңістіктік нүктелік процестер және олардың қолданылуы. Стохастикалық геометрия: Италияның Мартина Франкасында өткен CIME жазғы мектебінде оқылған дәрістер, 13-18 қыркүйек, 2004 ж., 1-75 беттер, 2007 ж.
  3. ^ а б c Д.Д.Дейли және Д.Вере-Джонс. Нүктелік процестер теориясына кіріспе. Том. Мен. Ықтималдық және оның қолданылуы (Нью-Йорк). Спрингер, Нью-Йорк, екінші басылым, 2003 ж.
  4. ^ а б Д.Д.Дейли және Д.Вере-Джонс. Нүктелік процестер теориясына кіріспе. Том. {II}. Ықтималдық және оның қолданылуы (Нью-Йорк). Спрингер, Нью-Йорк, екінші басылым, 2008 ж.
  5. ^ а б c Дж.Моллер және Р. П. Ваагепетерсен. Статистикалық қорытынды және кеңістіктік нүктелік процестерді модельдеу. CRC Press, 2003 ж.
  6. ^ а б c г. Ф.Бакчелли және Б.Блашчин. Стохастикалық геометрия және сымсыз желілер, I том - теория, 3-том, № 3-4 Желідегі негіздер мен тенденциялар. NoW Publishers, 2009 ж.
  7. ^ а б Ф.Бакчелли және Б.Блашчин. Стохастикалық геометрия және сымсыз желілер, II том - Қолданбалар, 4 том, № 1-2 б Желідегі негіздер мен тенденциялар. NoW Publishers, 2009 ж.
  8. ^ Бедфорд, Т, Ван ден Берг, Дж (1997). «Нүктелік процестерге арналған Van Lieshout және Baddeley J-функциялары туралы ескерту». Қолданбалы ықтималдықтағы жетістіктер. JSTOR: 19-25.CS1 maint: бірнеше есімдер: авторлар тізімі (сілтеме)
  9. ^ Фоксолл, Роб, Баддели, Адриан (2002). «Кеңістіктік нүктелік процесс пен кездейсоқ жиынтықтың, геологиялық қосымшалармен байланысының параметрлік емес өлшемдері». Корольдік статистикалық қоғам журналы, C сериясы. Wiley онлайн кітапханасы. 51 (2): 165–182. дои:10.1111/1467-9876.00261.CS1 maint: бірнеше есімдер: авторлар тізімі (сілтеме)