Косинустардың сфералық заңы - Spherical law of cosines - Wikipedia

Жылы сфералық тригонометрия, косинустар заңы (деп те аталады бүйірлік косинус ережесі[1]) - кәдімгіге ұқсас сфералық үшбұрыштардың қабырғалары мен бұрыштарына қатысты теорема косинустар заңы ұшақтан тригонометрия.

Косинустар заңымен шешілген сфералық үшбұрыш.

Бірлік сферасы берілгенде, сфераның бетіндегі «сфералық үшбұрыш» -пен анықталады үлкен үйірмелер үш нүктені байланыстыру сен, v, және w шарда (оң жақта көрсетілген). Егер осы үш жақтың ұзындықтары болса а (бастап.) сен дейін v), б (бастап.) сен дейін w), және c (бастап.) v дейін w), ал бұрыштың бұрышы қарсы c болып табылады C, содан кейін косинустардың (бірінші) сфералық заңы былай дейді:[2][1]

Бұл бірлік сфера болғандықтан, ұзындықтар а, б, және c жай бұрыштарға тең (in радиан ) сол жақтар сфераның центрінен шығарады. (Бірлік емес сфера үшін ұзындықтар радиустың шегінен шыққан бұрыштары болып табылады және формула әлі де орындалады а, б және c бағдарланған бұрыштар ретінде қайта түсіндіріледі). Ерекше жағдай ретінде C = π/2, содан кейін cos C = 0, ал бірі сфералық аналогын алады Пифагор теоремасы:

Егер шешу үшін косинустар заңы қолданылса c, косинусты инверсиялау қажеттілігі жоғарылайды дөңгелектеу қателіктері қашан c кішкентай. Бұл жағдайда баламалы тұжырымдау гаверсиндер заңы жақсырақ.[3]

Косинустар заңының өзгеруі, косинустардың екінші сфералық заңы,[4] (деп те аталады бұрыштар үшін косинус ережесі[1]):

қайда A және B бұрыштардың қабырғаларға қарама-қарсы бұрыштары а және бсәйкесінше. Оны а. Қарастыру арқылы алуға болады сфералық үшбұрыш қосарланған берілгенге.

Дәлелдер

Бірінші дәлел

Келіңіздер сен, v, және w белгілеу бірлік векторлары сфераның центрінен үшбұрыштың сол бұрыштарына дейін. Координаталар жүйесі бұрылса, бұрыштар мен арақашықтықтар өзгермейді, сондықтан біз координаттар жүйесін осылай айналдыра аламыз. орналасқан Солтүстік полюс және бір жерде орналасқан негізгі меридиан (бойлық 0). Бұл айналу кезінде сфералық координаттар үшін болып табылады , қайда θ - бұл экватордан емес солтүстік полюстен өлшенетін бұрыш, және сфералық координаттар болып табылады . Декарттық координаттар болып табылады және декарттық координаталар үшін болып табылады . Мәні екі декарттық вектордың нүктелік көбейтіндісі болып табылады .

Екінші дәлел

Келіңіздер сен, v, және w белгілеу бірлік векторлары сфераның центрінен үшбұрыштың сол бұрыштарына дейін. Бізде бар сен · сен = 1, v · w = cos c, сен · v = cos а, және сен · w = cos б. Векторлар сен × v және сен × w ұзындықтары бар күнә а және күнә б сәйкесінше және олардың арасындағы бұрыш C, сондықтан

күнә а күнә б cos C = (сен × v) · (сен × w) = (сен · сен)(v · w) − (сен · v)(сен · w) = cos c - cos а cos б,

қолдану крест өнімдері, нүктелік өнімдер, және Бине-Коши сәйкестігі (б × q) · (р × с) = (б · р)(q · с) − (б · с)(q · р).

Қайта құру

Косинустардың бірінші және екінші сфералық заңдарын бүйірлерін қоюға болады (а, б, c) және бұрыштар (A, B, C) теңдеулердің қарама-қарсы жағында:

Жазықтық шегі: кіші бұрыштар

Үшін кішкентай сфералық үшбұрыштар, яғни кішіге арналған а, б, және c, косинустардың сфералық заңы шамамен косинустардың кәдімгі жазықтық заңымен бірдей,

Мұны дәлелдеу үшін біз кіші бұрыштық жуықтау алынған Маклорин сериясы косинус пен синус функциялары үшін:

Осы өрнектерді косинустар торларының сфералық заңына ауыстыру:

немесе оңайлатқаннан кейін:

The үлкен О шарттары а және б басым O(а4) + O(б4) сияқты а және б кішкентай болыңыз, сондықтан біз осы соңғы өрнекті келесідей жаза аламыз:

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ а б c В.Геллерт, С.Готвальд, М. Хеллвич, Х. Кәстнер және Х. Кюстнер, VNR қысқаша математика энциклопедиясы, 2-басылым, ш. 12 (Ван Ностран Рейнхольд: Нью-Йорк, 1989).
  2. ^ Ромуалд Иренейдің Скибор-Марчокки, Сфералық тригонометрия, Элементар-геометрия тригонометриясы веб-бет (1997).
  3. ^ Р.В. Синнотт, «Гаверсиннің ізгіліктері», Аспан және телескоп 68 (2), 159 (1984).
  4. ^ Рейман, Иштван (1999). Geometria és határterületei. Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. б. 83.