Транссериялар - Transseries - Wikipedia

Математикада өріс туралы логарифмдік-экспоненциалды транссериялар Бұл архимед емес тапсырыс берді дифференциалды өріс салыстыру мүмкіндігін кеңейтеді асимптотикалық өсу қарқыны бастауыш объектілердің неғұрлым кең класына нонтригонометриялық функциялар. Әрбір log-exp транзерлері формальды асимптотикалық мінез-құлықты бейнелейді және оны формальды түрде басқаруға болады және ол жақындағанда (немесе шексіз сияқты арнайы семантикаларды қолданған жағдайда). сюрреалді сандар ), нақты мінез-құлыққа сәйкес келеді. Транссериялар функцияларды ұсынуға ыңғайлы болуы мүмкін. Көрсеткіштер мен логарифмдерді қосу арқылы транзериялар шексіздік дәрежесінің күшті қорытуы болып табылады () және басқа ұқсас асимптотикалық кеңею.

Алаң Дан-Гёринг дербес енгізді[1] және Ecalle[2] модельдік теорияның немесе экспоненциалды өрістердің және аналитикалық сингулярлықты және Дулак болжамдарының Ecalle-мен дәлелдеуін зерттеудің сәйкес контексттерінде. Ол Хардидің эксплог-функциясының өрісін және Ecalle-дің акселеро-жиынтық серияларын кеңейтетін формальды объектіні құрайды.

Алаң бай құрылымға ие: жалпыланған қатарлар мен қосындылар ұғымы бар реттелген өріс, ерекшеленген антидеривациямен үйлесімді туынды, үйлесімді экспоненциалдық және логарифмдік функциялар және қатардың формальды құрамы туралы түсінік.

Мысалдар және контрмысалдар

Ресми емес тілмен айтқанда, эксп-журналды тасымалдаушылар болып табылады негізделген (яғни керісінше жақсы тапсырыс) ресми Хан сериясы позитивті шексіз анықталған нақты күштердің , экспоненциалдар, логарифмдер және олардың композициялары, нақты коэффициенттермен. Қосымша екі маңызды шарт - экспонентальді және логарифмдік тереңдікте экспрограммалық трансиерлер бұл exp және log қайталануларының максималды сандары ақырлы болуы керек.

Келесі ресми сериялар log-exp трансиерлері болып табылады:

Келесі ресми сериялар емес log-exp трансляциялары:

- бұл серия негізделген емес.
- осы қатардың логарифмдік тереңдігі шексіз
- осы қатардың экспоненциалды және логарифмдік тереңдігі шексіз

Соңғы екі серияны қамтитын трансляцияның дифференциалды өрістерін анықтауға болады, олар сәйкесінше және (абзацты қараңыз) Сюрреал сандарды қолдану төменде).

Кіріспе

Таңғажайып факт - қарапайым емес тригонометриялық емес функциялардың, тіпті теориялық модельде анықталатын барлық функциялардың асимптотикалық өсу қарқыны нақты сандардың реттелген экспоненциалды өрісінің барлығы салыстырмалы: барлығы үшін және , Бізде бар немесе , қайда білдіреді . Эквиваленттік класы қатынасы бойынша асимптотикалық мінез-құлық болып табылады , деп те аталады ұрық туралы (немесе ұрық туралы шексіздікте).

Транссериялар өрісін интуитивті түрде осы өсу қарқындарын формальды жалпылау ретінде қарастыруға болады: Бастапқы операциялардан басқа, транссериялар шектелген экспоненциалды және логарифмдік тереңдікпен сәйкес реттіліктер үшін «шектерде» жабылады. Алайда, асқыну - өсу қарқыныАрхимед және, демек, жоқ ең төменгі шек. Біз мұны сюрреалді сандардың құрылысына ұқсас минималды күрделіліктің минималды жоғарғы шекарасымен байланыстыра отырып шеше аламыз. Мысалға, байланысты гөрі өйткені тез ыдырайды, ал егер біз тез ыдырауды күрделілігімен анықтасақ, оның қажеттілігі анағұрлым күрделірек (сонымен қатар, біз тек асимптотикалық мінез-құлық туралы ойлайтындықтан, нүктелік конвергенция диспозитивті емес).

Салыстырмалы болғандықтан транссерияларға тербелмелі өсу қарқыны кірмейді (мысалы ). Екінші жағынан, сияқты транссериялар бар конвергентті қатарларға немесе нақты бағаланатын функцияларға тікелей сәйкес келмейтіндер. Транссериялардың тағы бір шектеуі - олардың әрқайсысы экспоненциалдар мұнарасымен шектелген, яғни ақырлы қайталану. туралы , осылайша алып тастаңыз тетрация және басқа транссекспоненциалды функциялар, яғни кез-келген экспоненциалды мұнараға қарағанда тез өсетін функциялар. Жалпыланған трансиерлер өрістерін құрудың тәсілдері бар, мысалы формальды транссекспоненциалдық терминдер, мысалы формальды шешімдер туралы Абель теңдеуі .[3]

Ресми құрылыс

Транссериялар формальды (потенциалды шексіз) өрнектер ретінде анықталуы мүмкін, олардың ережелері қай өрнектердің жарамды екенін анықтайтын, трансляцияларды салыстыру, арифметикалық амалдар, тіпті дифференциация. Содан кейін тиісті транссерияларды тиісті функцияларға немесе микробтарға тағайындауға болады, бірақ конвергенцияға байланысты нәзіктіктер бар. Алшақтайтын транссериялардың өзі көбіне нақты өсу қарқынымен (транссериялардағы ресми операциялармен келісілген) мағыналы (және ерекше) тағайындалуы мүмкін. жеделдету, бұл жалпылау болып табылады Борелді қорытындылау.

Транссериялар бірнеше баламалы тәсілдермен ресімделуі мүмкін; біз мұнда ең қарапайымдарының бірін қолданамыз.

A транссериялар бұл негізделген сома,

соңғы экспоненциалды тереңдікпен, мұнда әрқайсысы нөлге тең емес нақты сан болып табылады бұл моникалық трансмономиялық ( трансмономиялық болып табылады, бірақ егер бұл болмаса моникалық емес коэффициент ; әрқайсысы басқаша; шақыру тәртібі маңызды емес).

Қосынды шексіз немесе трансфинитті болуы мүмкін; ол әдетте кему ретімен жазылады .

Мұнда, негізделген шексіз өсу реттілігі жоқ екенін білдіреді (қараңыз жақсы тапсырыс беру ).

A моникалық трансмономиялық 1-нің бірі, х, журнал х, журнал журналы х, ..., eтаза_үлкен_трансляциялар.

Ескерту: Себебі , біз оны қарабайыр ретінде қоспаймыз, бірақ көптеген авторлар енгізеді; журналсыз трансляция құрамына кірмейді бірақ рұқсат етілген. Сондай-ақ, анықтамадағы айналма сөзден аулақ болыңыз, өйткені clean_large_transseries (жоғарыда) төменгі экспоненциалды тереңдікте болады; анықтама экспоненциалды тереңдікте рекурсиямен жұмыс істейді. Пайдаланылатын конструкцияны «Log-exp трансиерлері қайталанатын Ган сериясы ретінде» қараңыз (төменде) және әр түрлі кезеңдерді анық бөліп қарастырады.

A тек үлкен транссериялар бұл бос емес трансляция барлығымен .

Транссериялар бар шекті экспоненциалды тереңдік, онда ұя салудың әр деңгейі e немесе журнал тереңдікті 1-ге арттырады (сондықтан біз оған ие бола алмаймыз) х + журнал х + журнал журналы х + ...).

Трансляцияларды қосу мерзімді түрде жүзеге асырылады: (терминнің болмауы нөлдік коэффициентке теңестіріледі).

Салыстыру:

Ең маңызды мерзімі болып табылады ең үлкені үшін (қосынды жақсы негізделгендіктен, бұл нөлдік трансляциялар үшін бар). оң мән, егер ең маңызды терминнің коэффициенті оң болса (сондықтан біз жоғарыда «таза» дегенді қолдандық). X > Y iff X − Y оң.

Моникалық трансмономияларды салыстыру:

- бұл біздің құрылысымыздағы жалғыз теңдік.
iff (сонымен қатар ).

Көбейту:

Бұл өнімге дистрибьюторлық заңды қолданады; өйткені серия негізделген, ішкі қосынды әрқашан ақырлы болады.

Саралау:

(бөлу көбейтудің көмегімен анықталады).

Бұл анықтамалар арқылы трансляциялар реттелген дифференциалды өріс болып табылады. Транссериялар сонымен қатар а бағаланған өріс, бағалаумен жетекші моникалық трансмономиялық және сәйкес анықталған асимптотикалық қатынаспен берілген арқылы егер (қайда абсолютті мән).

Басқа құрылыстар

Log-exp трансляциялары Хан сериясы ретінде қайталанады

Журналсыз трансляциялар

Біз алдымен ішкі өрісті анықтаймыз туралы деп аталатын журналсыз таратқыштар. Бұл кез-келген логарифмдік терминді жоққа шығаратын транссериялар.

Индуктивті анықтама:

Үшін сызықтық реттелген мультипликативті тобын анықтаймыз мономиалды заттар . Содан кейін біз рұқсат бердік өрісін белгілеңіз жақсы негізделген сериялар . Бұл карталардың жиынтығы нүктелік қосындымен және Коши өнімімен жабдықталған, негізделген негізделген (яғни кері тәртіптелген) тірекпен (қараңыз) Хан сериясы ). Жылы , біз (бір емес) қосалқы кодты ажыратамыз туралы тек үлкен транссериялар, олардың қатарында тек мономиалдар ғана жоғарыда орналасқан сериялар .

Біз бастаймыз өніммен жабдықталған және тапсырыс .
Егер осындай және, осылайша және анықталды, біз рұқсат етеміз формальды өрнектер жиынтығын белгілеңіз қайда және . Бұл өнім астында сызықты реттелген коммутативті топты құрайды және лексикографиялық тәртіп егер және егер болса немесе ( және ).

Табиғи қосылу ішіне анықтау арқылы берілген және индуктивті түрде табиғи ендіруді қамтамасыз етеді ішіне және, осылайша, табиғи ендіру ішіне . Содан кейін сызықтық реттелген коммутативті топты анықтай аламыз және тапсырыс берілген өріс бұл журналсыз трансляциялар өрісі.

Алаң бұл өрістің тиісті кіші алаңы нақты коэффициенттері бар мономальды жүйелер негізделген . Шынында да, әр серия жылы шектелген экспоненциалды тереңдікке ие, яғни ең аз оң бүтін сан осындай , ал серия

мұндай байланыс жоқ.

Көрсеткіш қосулы :

Журналсыз трансляция өрісі белгілі бір морфизм болып табылатын экспоненциалды функциямен жабдықталған . Келіңіздер журналсыз трансляторлар болыңыз және рұқсат етіңіз экспоненциалды тереңдігі болуы керек , сондықтан . Жазыңыз қосынды ретінде жылы қайда , нақты сан болып табылады шексіз (олардың кез-келгені нөлге тең болуы мүмкін). Содан кейін ресми Хан сомасы

жақындасады және біз анықтаймыз қайда - нақты экспоненциалды функцияның мәні .

-Мен дұрыс композиция :

Дұрыс композиция сериямен арқылы экспоненциалды тереңдікке индукция арқылы анықтауға болады

бірге . Мономиалды заттар индуктивті түрде сақталады сондықтан әрбір индуктивті қадамда қосындылар негізделген және осылайша жақсы анықталған.

Log-exp трансляциялары

Анықтама:

Функция жоғарыда анықталмаған сондықтан логарифм тек ішінара анықталады мысалы: серия логарифм жоқ. Сонымен қатар, кез-келген оң шексіз трансляция кейбір оң қуаттан үлкен . Көшу үшін дейін , айнымалыға жай ғана «қосуға» болады формальды қайталанатын логарифмдер тізбегі формальды өзара қарым-қатынас сияқты болады - қайталанған экспоненциалды терминмен белгіленген .

Үшін рұқсат етіңіз формальды өрнектер жиынтығын белгілеңіз қайда . Біз мұны анықтау арқылы тапсырыс берілген топқа айналдырамыз және анықтау қашан . Біз анықтаймыз . Егер және біз ендірдік ішіне элементті анықтау арқылы терминімен

Содан кейін аламыз бағытталған одақ ретінде

Қосулы дұрыс композиция бірге табиғи түрде анықталады

Экспоненциалдық және логарифмдік:

Көрсеткішті анықтауға болады журналсыз трансляция сияқты, бірақ мұнда өзара қарым-қатынасқа ие қосулы . Шынында да, қатаң позитивті серия үшін , жаз қайда болып табылады (оны қолдаудың ең үлкен элементі), сәйкес келетін оң нақты коэффициент, және шексіз. Ресми Хан сомасы

жақындасады . Жазыңыз қайда өзі формаға ие қайда және . Біз анықтаймыз . Біз ақыры жиналдық

Сюрреал сандарды қолдану

Log-exp трансиерлерінің тікелей құрылысы

Сондай-ақ, log-exp трансиерлер өрісін тапсырыс берілген өрістің ішкі өрісі ретінде анықтауға болады сюрреалді сандар.[4] Алаң Гоншор-Крускалдың экспоненциалды және логарифмдік функцияларымен жабдықталған[5] және конвейдің қалыпты формасында негізделген сериялы өрістің табиғи құрылымымен.[6]

Анықтаңыз , кіші алаңы жасаған және ең қарапайым оң шексіз сюрреал саны (бұл табиғи түрде реттікке сәйкес келеді , және серияға транссерия ретінде ). Содан кейін, үшін , анықтаңыз ретінде құрылған өріс ретінде , элементтерінің экспоненциалдары және қатаң позитивті элементтерінің логарифмдері , сондай-ақ (Hahn) жиынтық отбасылардың сомалары . Кәсіподақ табиғи түрде изоморфты . Шын мәнінде, жіберетін бірегей осындай изоморфизм бар дейін және дәрежеленетін отбасылардың қосындысымен бірге жүреді жату .

Басқа өрістер

  • Бұл процесті трансфинитті индукция бойынша жалғастыру тыс , шектеулі тәртіп бойынша кәсіподақтарды қабылдай отырып, сыныптың тиісті өрісін алады канондық түрде туындымен жабдықталған және құрамы ұзарту (қараңыз Трансляциядағы операциялар төменде).
  • Егер оның орнына бірі кіші алаңнан басталады жасаған және барлық соңғы қайталанулар кезінде , және үшін арқылы құрылған ішкі өріс болып табылады , элементтерінің экспоненциалдары және жиынтық отбасылардың сомалары , содан кейін өрісті изоморфты көшірме алады туралы экспоненциалды-логарифмдік трансиерлер, бұл дұрыс кеңейту болып табылады жалпы экспоненциалды функциямен жабдықталған.[7]

Берардуччи-Мантова туындысы[8] қосулы сәйкес келеді табиғи туындысымен және экспоненциалды реттелген өріс құрылымымен және жалпыланған өріс құрылымымен үйлесімділік қатынастарын қанағаттандыру үшін бірегей болып табылады. және

Керісінше туынды және сурьютивті емес: мысалы серия

антидеривативі жоқ немесе (бұл өрістерде транссекспоненциалды функция жоқ екендігімен байланысты).

Қосымша қасиеттер

Трансляциядағы операциялар

Дифференциалды экспоненциалды реттелген өрістегі операциялар

Транссериялар өте күшті жабылу қасиеттеріне ие және көптеген операцияларды трансляцияларда анықтауға болады:

  • Логарифм оң аргументтер үшін анықталады.
  • Log-exp трансерлері болып табылады нақты жабық.
  • Интеграция: әрбір log-exp трансерлері тұрақты нөлдік тұрақты антидеривативке ие , және .
  • Логарифмдік антидериватив: үшін , Сонда бар бірге .

1-ескерту. Соңғы екі қасиет мұны білдіреді болып табылады Лиувилл жабылды.

2-ескерту. Элементтік емес тригонометриялық функция сияқты, әрбір оң шексіз транссериялар интегралды экспоненциалдылыққа ие, тіпті осы мағынада:

Нөмір бірегей, ол деп аталады экспоненциалдылық туралы .

Транссериялардың құрамы

-Ның өзіндік қасиеті ол композицияны қабылдайды (қайда бұл әрбір log-exp трансляцияларын көруге мүмкіндік беретін оң шексіз log-exp трансиерлерінің жиынтығы) функциясы ретінде . Бейресми түрде айтқанда, үшін және , серия айнымалының әр пайда болуын ауыстыру арқылы алынады жылы арқылы .

Қасиеттері
  • Ассоциативтілік: үшін және , Бізде бар және .
  • Оң композициялардың үйлесімділігі: үшін , функциясы өрісінің автоморфизмі болып табылады формальды сомалармен жүретін, жібереді үстінде , үстінде және үстінде . Бізде де бар .
  • Бірегейлік: композиция алдыңғы екі қасиетті қанағаттандыру үшін ерекше.
  • Монотондылық: үшін , функциясы тұрақты немесе қатаң монотонды . Біртектілік белгісіне байланысты .
  • Тізбек ережесі: үшін және , Бізде бар .
  • Функционалды кері: үшін , бірегей серия бар бірге .
  • Тейлордың кеңеюі: әрбір log-exp трансиерлері Тейлордың кез-келген нүктеге сәйкес кеңеюі бар және жеткілікті аз , Бізде бар
мұндағы қосынды - бұл жиынтықтауға болатын отбасының формальды Хэң сомасы.
  • Бөлшек итерация: үшін экспоненциалдылықпен және кез-келген нақты сан , бөлшек қайталау туралы анықталды.[9]

Шешімділік және модельдер теориясы

Дифференциалды реттелген бағаланған дифференциал өрісінің теориясы

The теориясы болып табылады шешімді және келесідей аксиоматизациялауға болады (бұл Ашенбреннер және басқалардың Теоремасы 2.2):

  • бұл реттелген дифференциалды өріс.
  • Аралық құндылық қасиеті (IVP):
қайда P дифференциалдық көпмүше, яғни in

Бұл теорияда дәрежелеу функциялар үшін анықталған (дифференциацияны қолдану арқылы), бірақ тұрақты емес; шын мәнінде, әрбір анықталатын ішкі жиынтығы болып табылады жартылай алгебралық.

Реттелген экспоненциалды өріс теориясы

The теориясы - бұл экспоненциалды нақты реттелген экспоненциалды өріс , қайсысы толық модель арқылы Уилки теоремасы.

Қатты өрістер

- бұл акселеро-жиынтық транссериялар өрісі, ал акселеро-қосылыстың көмегімен бізде сәйкес келеді Харди өрісі, бұл кіші өріске сәйкес келетін максималды Харди өрісі болуы мүмкін . (Бұл болжам бейресми, өйткені біз Харди өрістерінің қай изоморфизмдерін дифференциалды ішкі өрістерге жатқызғанын анықтамадық. рұқсат етілген.) жоғарыдағы аксиомаларды қанағаттандыру үшін болжам жасалды . Акселеро-қосылысты анықтамай-ақ, конвергентті транссериялардағы операциялар дивергентті шығарғанда, сәйкес микробтардағы бірдей операциялар жарамды микроб тудыратындығын ескерсек, біз дивергентті транссерияларды сол микробпен байланыстыра аламыз.

Харди алаңы айтылады максималды егер ол ешқандай Hardy өрісінде болмаса. Зорн леммасын қолдану арқылы әрбір Харди өрісі максималды Харди өрісіне енеді. Барлық максималды Харди өрістері дифференциалды өрістер сияқты қарапайым эквивалентті және шынымен бірінші ретті теориямен бірдей болады деп болжанады. .[10] Логарифмдік-транссериялар өздері максималды Харди өрісіне сәйкес келе бермейді, өйткені кез келген трансляция нақты функцияға сәйкес келмейді, ал максималды Харди өрісі әрқашан транссекспоненциалды функциядан тұрады.[11]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Дан, Бернд және Гёринг, Питер, Экспоненциалды-логарифмдік терминдер туралы ескертпелер, Fundamenta Mathematicae, 1987 ж
  2. ^ Экалле, Жан, Aux fonctions талдауларына кіріспе және Дулактың болжамды болжамына негізделеді, Actualités mathématiques (Париж), Герман, 1992 ж
  3. ^ Шмелинг, Майкл, Трансперстер корпусы, Кандидаттық диссертация, 2001 ж
  4. ^ Берардуччи, Алессандро және Мантова, Винченцо, Транссериялар сюрреальды функциялардың микробтары ретінде, Американдық математикалық қоғамның транзакциялары, 2017 ж
  5. ^ Гоншор, Гарри, Сюрреалді сандар теориясына кіріспе, 'Кембридж университетінің баспасы', 1986 ж
  6. ^ Конвей, Джон, Хортон, Сандар мен ойындар туралы, Academic Press, Лондон, 1976 ж
  7. ^ Кульман, Сальма және Тресл, Маркус, Көрсеткіштік-логарифмдік және логарифмдік-көрсеткіштік қатарларды салыстыру, Математикалық логика тоқсан сайын, 2012 ж
  8. ^ Берардуччи, Алессандро және Мантова, Винченцо, Сюрреальды сандар, туындылар және транссериялар, Еуропалық математикалық қоғам, 2015 ж
  9. ^ Эдгар, Г.А. (2010), Сериялар мен транссериялардың фракциялық қайталануы, arXiv:1002.2378, Бибкод:2010arXiv1002.2378E
  10. ^ Ашенбреннер, Матиас және ван ден Дрис, Лу және ван дер Ховен, Джорис, Сандар, микробтар және транссериялар туралы, Жылы Proc. Int. Конг. математика, т. 1, 1–24 б., 2018
  11. ^ Бошернитзан, Майкл, Харди өрістері және транссекспоненциалды функцияның болуы, Жылы математикалық теңдеулер, т. 30, 1 шығарылым, 258–280 б., 1986 ж.