Қысқартылған 24 ұяшық - Truncated 24-cells - Wikipedia

Schlegel сым рамасы 24-cell.png
24 жасуша
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.png
Schlegel жартылай қатты кесілген 24-cell.png
Қысқартылған 24 ұяшық
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.png
24 ұялы Schlegel halfsolid.png битрункирленген
24 ұяшықтан жасалған
CDel node.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Шлегель диаграммалары бір центрге бағытталған [3,4] ([4,3] қарама-қарсы ұяшықтар)

Жылы геометрия, а қысқартылған 24 ұяшық Бұл біртекті 4-политоп (4 өлшемді форма политоп ) ретінде қалыптасқан қысқарту тұрақты 24 жасуша.

Қысқартудың екі дәрежесі бар, оның ішінде а битрункция.

Қысқартылған 24 ұяшық

Schlegel жартылай қатты кесілген 24-cell.png
Шлегель диаграммасы
Қысқартылған 24 ұяшық
ТүріБіртекті 4-политоп
Schläfli таңбаларыт {3,4,3}
тр {3,3,4} =
т {31,1,1} =
Коксетер диаграммасыCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel түйіні 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel филиалы3 11.pngCDel түйіні 1.png
Ұяшықтар4824 4.6.6 Қысқартылған octahedron.png
24 4.4.4 Hexahedron.png
Жүздер240144 {4}
96 {6}
Шеттер384
Тік192
Шың фигурасы24 ұяшықтан қиылған verf.png
тең бүйірлі үшбұрышты пирамида
Симметрия тобыF4 [3,4,3], тапсырыс 1152
Айналдыру кіші тобы[3,4,3]+, тапсырыс 576
Коммутатордың ішкі тобы[3+,4,3+], тапсырыс 288
Қасиеттерідөңес
Бірыңғай индекс23 24 25

The қысқартылған 24 ұяшық немесе қысқартылған икозитетрахорон біркелкі 4 өлшемді политоп (немесе) болып табылады біртекті 4-политоп ), ол 48-мен шектелген жасушалар: 24 текшелер және 24 қысқартылған октаэдра. Әрбір шың теңбүйірлі үшбұрышты пирамидаға үш кесілген октаэдр мен бір кубты қосады. төбелік фигура.

Құрылыс

The қысқартылған 24 ұяшық үш симметрия тобы бар политоптардан құрастыруға болады:

Коксетер тобы = [3,4,3] = [4,3,3] = [3,31,1]
Schläfli таңбасыт {3,4,3}тр {3,3,4}т {31,1,1}
Тапсырыс1152384192
Толық
симметрия
топ
[3,4,3][4,3,3]<[3,31,1]> = [4,3,3]
[3[31,1,1]] = [3,4,3]
Коксетер диаграммасыCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel түйіні 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel филиалы3 11.pngCDel түйіні 1.png
Беттер3: CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
1: CDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
2: CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.png
1: CDel node.pngCDel 4.pngCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.png
1: CDel node.pngCDel 4.pngCDel түйіні 1.pngCDel 2.pngCDel түйіні 1.png
1,1,1: CDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.png
1: CDel түйіні 1.pngCDel 2.pngCDel түйіні 1.pngCDel 2.pngCDel түйіні 1.png
Шың фигурасы24 ұяшықтан қиылған verf.png16 ұялы verf.png кантритуациясыOmnitruncated demitesseract verf.png

Зонотоп

Бұл сондай-ақ зонотоп: ретінде қалыптасуы мүмкін Минковский сомасы вектордың он екі ауыстыруының арасында қарама-қарсы жұптарды қосатын алты сызық сегменттерінің (+ 1, -1,0,0).

Декарттық координаттар

The Декарттық координаттар sqrt (2) жиегінің ұзындығы бар, қысқартылған 24-ұяшықтың шыңдарының барлығы координаттардың орын ауыстырулары мен белгілерінің тіркесімдері болып табылады:

(0,1,2,3) [4!×23 = 192 шыңдар]

Қос конфигурацияда координаталардың барлық ауыстыру координаттары және белгілері болады

(1,1,1,5) [4×24 = 64 шыңдар]
(1,3,3,3) [4×24 = 64 шыңдар]
(2,2,2,4) [4×24 = 64 шыңдар]

Құрылым

24 кубтық ұяшықтар квадрат беттері арқылы кесілген октаэдрға қосылады; және 24 кесілген октаэдр бір-біріне алты қырлы беттері арқылы біріктірілген.

Проекциялар

Кесілген 24-ұяшықтың параллель проекциясы үш өлшемді кеңістікке, алдымен сегіздік октаэдрға, келесі орналасуға ие:

  • Проекциялық конверт - а қысқартылған кубоктаэдр.
  • Кесілген октаэдраның екеуі конверттің ортасында жатқан қысқартылған октаэдрға шығады.
  • Алты кубоидалық көлем осы орталық кесілген октаэдрдің төртбұрышты жүздерін үлкен ромбикубоктаэдрдің сегіз қырлы беттерінің ортасына қосады. Бұл 12 кубтық ұяшықтардың суреттері, әр кескінге жұп ұяшықтар.
  • Үлкен ромбикубоктаэдрдің 12 шаршы беті - қалған 12 текшенің бейнелері.
  • Ұлы ромбикубоктаэдрдің сегіз қырлы 6 беті - кесілген октаэдраның 6 суреті.
  • Проекциялық конверттің алты қырлы беткейлері мен орталық қиылған октагедр арасында жатқан 8 (біркелкі емес) қысқартылған сегіз қырлы көлемдер қалған 16 кесілген октаэдраның кескіндері болып табылады, әр кескінге жасушалар жұбы.

Суреттер

орфографиялық проекциялар
Коксетер жазықтығыF4
График24 ұяшық t01 F4.svg
Диедралды симметрия[12]
Коксетер жазықтығыB3 / A2 (а)B3 / A2 (b)
График24 ұяшық t01 B3.svg24 ұяшық t23 B3.svg
Диедралды симметрия[6][6]
Коксетер жазықтығыB4B2 / A3
График4 текше t123.svg24 ұяшық t01 B2.svg
Диедралды симметрия[8][4]
Schlegel жартылай қатты кесілген 24-cell.png
Шлегель диаграммасы
(текше жасушалар көрінеді)
Schlegel жартылай қатты кантитрукцияланған 16-cell.png
Шлегель диаграммасы
24 қысқартылған сегіз қырлы сегіз жасушадан 8-і көрінеді
Қысқартылған ксилотетронды стереографиялық oblique.png
Стереографиялық проекция
Орталықтандырылған қысқартылған тетраэдр
Торлар
Қысқартылған 24 ұялы net.png
Қысқартылған 24 ұяшық
Dual tico net.png
Екі ұялыдан қысқартылған 24 ұяшық

Ұқсас политоптар

Қиылған 24-жасушаның дөңес қабығы және оның қосарланған жері (егер олар сәйкес келеді деп санасақ) 480 жасушадан тұратын біркелкі емес полихорон болып табылады: 48 текшелер, 144 квадрат антипризмдер, 288 тетраэдра (тетрагональды дисфеноидтар түрінде) және 384 шыңдар. Оның шыңы - гексакис үшбұрышты купе.

Bitruncatotetracontaoctachoron vertex figure.png
Шың фигурасы

24 ұяшықтан жасалған

24 ұяшықтан жасалған
24 ұялы Schlegel halfsolid.png битрункирленген
Шлегель диаграммасы, қиылған текшеге центрленген, балама ұяшықтар жасырылған
ТүріБіртекті 4-политоп
Schläfli таңбасы2т {3,4,3}
Коксетер диаграммасыCDel node.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Ұяшықтар48 (3.8.8) Қиылған hexahedron.png
Жүздер336192 {3}
144 {8}
Шеттер576
Тік288
Жиек фигурасы3.8.8
Шың фигурасы24 ұяшықтың шыңы figr.png
тетрагонды дисфеноид
қос политопДисфеноидты 288 жасушадан тұрады
Симметрия тобыАвт (F4), [[3,4,3]], тапсырыс 2304
Қасиеттерідөңес, изогональды, изотоксалды, изохоралық
Бірыңғай индекс26 27 28

The 24 ұяшықтан жасалған. 48 ұяшық, немесе тетраконтохтахон 4 өлшемді форма политоп (немесе біртекті 4-политоп ) алынған 24 жасуша.

E. L. Elte оны 1912 жылы полирополитополиметрия ретінде анықтады.

Ол салған битрункциялау 24 жасуша (тереңдіктің жартысына дейін қысқартылған, ол тереңдікке дейін жетеді) қосарланған 24 ұяшық).

Біртекті 4-политоп бола отырып, солай болады шың-өтпелі. Сонымен қатар, бұл жасушалық-өтпелі 48-ден тұрады кесілген текшелер, және шеткі-өтпелі, 3 кесілген текшелер бір шетінде және әр жиегінде бір үшбұрыш және екі сегізбұрыш бар ұяшықтар.

Битрукирленген 24 жасушаның 48 ұяшығы 24 жасушаның 24 ұяшығына және 24 төбесіне сәйкес келеді. Осылайша, 48 ұяшықтың центрлері тамыр жүйесі түр F4.

Оның шыңы а тетрагонды дисфеноид, екі қарама-қарсы жиектерінің ұзындығы 1 және барлық бүйір жиектерінің ұзындығы √ (2 + √2) болатын тетраэдр.

Балама атаулар

  • 24 жасушадан жасалған (Джонсон Норман В. )
  • 48 ұяшық а жасушалық-өтпелі 4-политоп
  • Битрукирленген икозитетрахорон
  • Битрукирленген полиоктаэдр
  • Тетраконтаоктахорон (жалғасы) (Джонатан Боуэрс)

Құрылым

Кесілген текшелер бір-біріне сегіз қырлы беттері арқылы біріктіріледі қарсы бағдарлау; мен. д., екі көршілес кесілген текшелер бір-біріне қатысты 45 градусқа айналдырылады, сондықтан екі үшбұрышты бет бір-бірімен бөліспейді.

Бір-біріне қарама-қарсы сегіз қырлы беттер арқылы қиылған кубтардың тізбегі 8 циклін құрайды. Әр қиылған куб осындай 3 циклге жатады. Екінші жағынан, бір-біріне қарама-қарсы үшбұрышты беттер арқылы біріктірілген кесілген текшелер тізбегі 6 циклін құрайды. Әр қиылған куб осындай 4 циклге жатады.

А матрица конфигурациясы, элементтер арасындағы барлық түсу саны көрсетілген. Диагональ f-векторы сандары арқылы шығарылады Wythoff құрылысы, бір айна алып тастау арқылы кіші топ тапсырысының толық топтық тәртібін бөлу. Шеттер 4 симметрия жағдайында болады. Квадраттар 3 позицияда, алтыбұрыштар 2 позицияда және сегізбұрыштарда орналасқан. Соңында, 4 типті клеткалар фундаменталды симплекстің 4 бұрышында орналасқан.[1]

F4CDel node.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngк-жүзіfкf0f1f2f3к-суретЕскертулер
A1A1CDel node.pngCDel 2.pngCDel түйіні x.pngCDel 2.pngCDel түйіні x.pngCDel 2.pngCDel node.png( )f02882214122с {2,4}F4/ A1A1 = 288
CDel түйіні x.pngCDel 2.pngCDel түйіні 1.pngCDel 2.pngCDel түйіні x.pngCDel 2.pngCDel node.png{ }f12288*12021{} v ()
CDel node.pngCDel 2.pngCDel түйіні x.pngCDel 2.pngCDel түйіні 1.pngCDel 2.pngCDel түйіні x.png2*28802112
A2A1CDel node.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 2.pngCDel түйіні x.pngCDel 2.pngCDel node.png{3}f233096**20{ }F4/ A2A1 = 1152/6/2 = 96
B2CDel түйіні x.pngCDel 2.pngCDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel түйіні 1.pngCDel 2.pngCDel түйіні x.pngт {4}844*144*11F4/ B2 = 1152/8 = 144
A2A1CDel node.pngCDel 2.pngCDel түйіні x.pngCDel 2.pngCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.png{3}303**9602F4/ A2A1 = 1152/6/2 = 96
B3CDel node.pngCDel 3.pngCDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel түйіні 1.pngCDel 2.pngCDel түйіні x.pngт {4,3}f324241286024*( )F4/ B3 = 1152/48 = 24
CDel түйіні x.pngCDel 2.pngCDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel түйіні 1.pngCDel 3.pngCDel node.png241224068*24

Координаттар

The Декарттық координаттар жиілігі ұзындығы 2-ге тең болатын 24-ұяшықтың координаталар мен белгілердің орын ауыстырулары:

(0, 2+√2, 2+√2, 2+2√2)
(1, 1+√2, 1+√2, 3+2√2)

Проекциялар

2 өлшемге проекциялау

орфографиялық проекциялар
Коксетер жазықтығыF4B4
График24 ұяшық t12 F4.svg24 ұяшық t12 B4.svg
Диедралды симметрия[[12]] = [24][8]
Коксетер жазықтығыB3 / A2B2 / A3
График24 ұяшық t12 B3.svg24 ұяшық t12 B2.svg
Диедралды симметрия[6][[4]] = [8]

3 өлшемге проекциялау

ОрфографиялықПерспектива
Төмендегі анимацияда 24 өлшемді ұяшықтың 3 өлшемге орфографиялық проекциясы көрсетілген. Анимацияның өзі статикалық 3D кескінінен 2D-ге перспективалық проекция болып табылады, оның құрылымын айқынырақ ету үшін айналдыру қосылды.
Bitruncated-24cell-parallelproj-01.gif
48 кесілген текшенің кескіндері келесідей орналасқан:
  • Орталық қысқартылған текше - бұл көруді жеңілдету үшін бөлектелген 4D көрінісіне ең жақын ұяшық. Көрнекі тәртіпсіздікті азайту үшін осы орталық кесілген текшеге жататын шыңдар мен шеттер алынып тасталды.
  • Осы орталық кесілген текшенің айналасында сегіз қырлы беттер арқылы бекітілген 6 кесілген текшелер және үшбұрышты беттер арқылы бекітілген 8 кесілген текшелер бар. Бұл ұяшықтар орталық ұяшық көрінетін етіп мөлдір етіп жасалды.
  • Проекциялық конверттің сыртқы төрт шаршы беті - бұл тағы 6 кесілген текшенің кескіндері, ал проекциялық конверттің 12 ұзынша сегіз қырлы беті - тағы 12 кесілген кубтың бейнесі.
  • Қалған ұяшықтар алынып тасталды, өйткені олар 24 ұяшықтың кескінделген шетінде орналасқан және 4D көзқарасынан жасырылған. Оларға антиподальды кесілген текше кіреді, олар бөлектелген кесілген текшемен бірдей көлемде проекцияланған болар еді, оны сегіз қырлы беттер арқылы қоршап тұрған тағы 6 кесілген текшелер және оны қоршап тұрған 8 басқа кесілген текшелер үшбұрышты беттер арқылы бекітіледі.
Келесі анимацияда 24 өлшемді ұяшықтың 3 өлшемге бірінші перспективалық проекциясы көрсетілген. Оның құрылымы алдыңғы анимациямен бірдей, тек кейбіреулері бар болжау перспективалық проекцияға байланысты.

24cell перспективасы 04.gif

Стереографиялық проекция
Bitruncated xylotetron stereographic close-up.png

Байланысты тұрақты қиғаш полиэдр

The кәдімгі қиғаш полиэдр, {8,4 | 3}, әр төбенің айналасында 4 сегізбұрышты, зиг-заггарлы жазықсыз шыңның фигурасында 4 кеңістікте болады. Бұл сегіз қырлы беттерді барлық 576 шеттер мен 288 шыңдарды пайдаланып, 24-ұяшықта көруге болады. 24 ұяшықтың 192 үшбұрышты беті жойылған болып көрінеді. Екі ретті қисайған полиэдр, {4,8 | 3}, -ның квадрат беттерімен ұқсас 24 ұяшықтан үзілген.

Дисфеноидты 288 жасушадан тұрады

Дисфеноидты 288 жасушадан тұрады
Түрімінсіз[2] полихорон
Таңбаf1,2F4[2]
(1,0,0,0)F4 ⊕ (0,0,0,1)F4[3]
КоксетерCDel node.pngCDel 3.pngCDel түйіні f1.pngCDel 4.pngCDel түйіні f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
ҰяшықтарДисфеноидты tetrahedron.png
288 сәйкес келеді тетрагональды дисфеноидтар
Жүздер576 үйлесімді тең бүйірлі
(2 қысқа жиек)
Шеттер336192 ұзындық
Ұзындығы 144
Тік48
Шың фигурасыДисфеноидты 288-жасуша шыңы fig.png
(Триакис октаэдрі )
Қосарланған24 ұяшықтан жасалған
Коксетер тобыАвт (F4), [[3,4,3]], тапсырыс 2304
Орбита векторы(1, 2, 1, 1)
Қасиеттерідөңес, изохоралық

The дисфеноидты 288 жасушадан тұрады болып табылады қосарланған туралы 24 ұяшықтан жасалған. Бұл 4 өлшемді политоп (немесе полихорон ) алынған 24 жасуша. Ол 24 ұяшықты екі есе көбейту және айналдыру, содан кейін дөңес корпус.

Біртектес поликоронның қосарланған болуы, ол жасушалық-өтпелі, 288 координенттен тұрады тетрагональды дисфеноидтар. Сонымен қатар, бұл шың-өтпелі Aut (F.) тобының астында4).[3]

Суреттер

Ортогональ проекциялар
Coxeter ұшақтарыB2B3F4
Дисфеноидты
288-ұяшық
B2-3.png 24 ұяшықтан тұратын қосарланған24 ұялы duals.svg арқылы F4 тамырлары
Битрукирленген
24 жасуша
24 ұяшық t12 B2.svg24 ұяшық t12 B3.svg24 ұяшық t12 F4.svg

Геометрия

288 жасушаның шыңдары дәл 24-ке тең Hurwitz бірлігі кватерниондары 1 квадрат квадратымен, бірлікке проекцияланған 2 квадрат квадратпен екі 24 ұяшықтың 24 төбелерімен біріктірілген 3-сфера. Бұл 48 төбеге сәйкес келеді екілік октаэдрлік топ, <2,3,4>, тапсырыс 48.

Сонымен, 288 жасуша - шексіз көпті ескермейтін, кватернионды топтың дөңес қабығы болып табылатын жалғыз тұрақты емес 4-политоп. дициклді (екілік диедрал сияқты) топтар; тұрақты болып табылады 24 жасуша (≘ , <2,3,3>, тапсырыс 24) және 120 ұяшық (≘ 2I, <2,3,5>, тапсырыс 120). (The 16-ұяшық сәйкес келеді екілік диедралды топ 2D2, <2,2,2>, тапсырыс 16).

3-шардың радиусы 1/2 +2/ 4 ≈ 0,853553 және 288 тетраэдраның центрлеріндегі 288-ұяшыққа жанасады, олар қосарланған 24-ұяшықтың шыңдары болып табылады.

Төбелер болуы мүмкін 2 түске боялған, қызыл және сары деп айтыңыз, қызыл түсте 24 Хурвиц бірлігі және сары түсте 24 дуаль бар 24 жасуша қызылға сәйкес келеді. Сонымен, екі бірдей кватернионның көбейтіндісі қызыл, ал аралас түстердегі 2-нің көбейтіндісі сары болады.

Ұзындығы 1-ге тең 192 ұзын жиектер және бірдей түстерді қосатын 144 қысқа жиектер бар 2–2 Mixed 0.765367 аралас түстерді қосады. 192 * 2/48 = 8 ұзын және 144 * 2/48 = 6 қысқа, яғни 14 шеті кез-келген шыңда кездеседі.

576 бет тең бүйірлі 1 ұзын және 2 қысқа шеттермен, барлығы сәйкес келеді. Табанындағы бұрыштар арккос (4+8/ 4) ≈ 49.210 °. 576 * 3/48 = 36 тұлға төбесінде, 576 * 1/192 = 3 ұзын шетінде, ал 576 * 2/144 = 8 қысқа шетте кездеседі.

288 жасуша - тетраэдра, 4 қысқа шеті және 2 антиподальды және перпендикуляр ұзын шеттері, олардың біреуі 2 қызыл, ал екіншісі 2 сары шыңдарды біріктіреді. Барлық ұяшықтар сәйкес келеді. 288 * 4/48 = 24 жасуша шыңда кездеседі. 288 * 2/192 = 3 ұяшық ұзын жиекте, 288 * 4/144 = 8 жасуша қысқа шетте кездеседі. 288 * 4/576 = 2 жасуша үшбұрышта түйіседі.

АймақҚабатЕндікқызылсары
Солтүстік жарты шар3110
22/206
11/280
Экватор00612
Оңтүстік жарты шар–1–1/280
–22/206
–3–110
Барлығы2424

Бекітілген қызыл шыңды солтүстік полюсте орналастыра отырып (1,0,0,0), келесі тереңдіктегі «ендікте» 6 сары шыңдар бар (2/ 2, x, y, z), содан кейін (1/2, x, y, z) ендік бойынша 8 қызыл шыңдар. Келесі терең ендік - 6 қызыл және 12 сары шыңдармен қоныстанған 2 сферадағы 3 сфераны қиып өтетін экватор гиперплані.

Қабат 2 - бұл шеттері ұзындыққа ие әдеттегі октаэдрді айналып өтетін 2 сфера. Төбесі солтүстік полюсі бар тетраэдрдің осы шеттерінің 1 ұзын жиегі бар, олардың 2 шыңдары солтүстік полюске қысқа шеттермен байланысты. Тағы бір ұзын жиек солтүстік полюстен қабатқа өтеді 1 және сол жерден қабаттарға 2 қысқа шеттер 2.

Ұқсас политоптар

B4 біркелкі политоптар отбасы:

F4 біркелкі политоптар отбасы:

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Клитцинг, Ричард. «o3x4x3o - cont».
  2. ^ а б Perfect 4-политоптар туралы Габор Джевай Алгебра және геометрияға қосқан үлестері 43 том (2002), No1, 243-259] 2 кесте, 252 бет
  3. ^ а б W (F4) политоптарының квотерниондық құрылысы және олардың қос политоптары және W (B4) және W (B3) × W (A1) кіші топтарының астында тармақталуы. Мехмет Кока 1, Мудхахир Аль-Аджми 2 және Назифе Оздес Кожа 3 Физика факультеті, Ғылым колледжі, Сұлтан Кабус Университеті, P. O. Box 36, Al-Khoud 123, Маскат, Оман Сұлтандығы, s.18. 5.7 Политоптың қос политопы (0, 1, 1, 0) F4 = W (F)4) (ω2+ ω3)
  • H.S.M. Коксетер:
    • Калейдоскоптар: H.S.M. таңдамалы жазбалары Коксетер, Ф. Артур Шерк, Питер МакМуллен, Энтони С. Томпсон, Азия Ивич Вайсс, Вили-Интерсценциал Басылымы, 1995 ж. редакциялаған ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
      • (22-қағаз) H.S.M. Коксер, Тұрақты және жартылай тұрақты политоптар I, [Математика. Цейт. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
      • (23-қағаз) H.S.M. Коксер, Тұрақты және жартылай тұрақты политоптар II, [Математика. Цейт. 188 (1985) 559-591]
      • (Қағаз 24) H.S.M. Коксер, Тұрақты және жартылай тұрақты политоптар III, [Математика. Цейт. 200 (1988) 3-45]
  • Норман Джонсон Бірыңғай политоптар, Қолжазба (1991)
    • Н.В. Джонсон: Біртекті политоптар мен медовиктер теориясы, Ph.D. (1966)
  • Клитцинг, Ричард. «4D біркелкі политоптар (полихора)». x3x4o3o = x3x3x4o - tico, o3x4x3o - жалғасы
  • 3. Икозитетрахорон негізіндегі дөңес біркелкі полихора (24 жасушадан) - 24, 27 модель, Георгий Ольшевский.