Wavelet модулін максимумға айналдыру әдісі - Wavelet transform modulus maxima method

The максимум максимум (WTMM) түрлендіру анықтау әдісі болып табылады фракталдық өлшем сигнал.

Бұдан басқа, WTMM сигналдың уақыт пен масштабтық доменін фракталдық өлшем аймақтарына бөлуге қабілетті, ал әдісті кейде «математикалық микроскоп» деп атайды, өйткені оның ауқымды сипаттамаларын тексеру мүмкіндігі бар сигнал беріңіз және осы сипаттамалардың қайнар көздері туралы хабарлаңыз.

WTMM әдісі қолданылады толқындық үздіксіз түрлендіру гөрі Фурье түрлендіреді ерекшеліктерді анықтау даралық - бұл үзіліс, белгілі бір туындыда үздіксіз болмайтын сигнал аймақтары.

Атап айтқанда, бұл әдіс талдау кезінде пайдалы көпфрактивті сигналдар, яғни бірнеше фракталдық өлшемдері бар сигналдар.

Сипаттама

Келесі теңдеумен ұсынылатын сигналды қарастырайық:

${ displaystyle f (t) = a_ {0} + a_ {1} (t-t_ {i}) + a_ {2} (t-t_ {i}) ^ {2} + cdots + a_ {h} (t-t_ {i}) ^ {h_ {i}} ,}$

қайда ${ displaystyle t}$ жақын ${ displaystyle t_ {i}}$ және ${ displaystyle h_ {i}}$ жергілікті сингулярлықты санмен анықтайтын бүтін емес сан. (Мұны a-мен салыстырыңыз Тейлор сериясы, мұнда іс жүзінде үздіксіз функцияны жуықтау үшін төменгі ретті терминдердің шектеулі саны ғана қолданылады.)

Жалпы, а толқындық үздіксіз түрлендіру сигналды стационарлық деп санамай, уақыттың функциясы ретінде ыдыратады (Мысалы, Фурье түрлендіруі). Кез келген үздіксіз вейвлет қолданыла алады, дегенмен Гаусс таралуы және Мексикалық шляпалық вейллет (Гаусстың екінші туындысы) кең таралған. Вейвлет таңдау таңдау зерттелетін сигналдың сипаттамаларына байланысты болуы мүмкін.

Төменде біз Гаусстың бірінші туындысы келтірген бір мүмкін вейвлет негізін көреміз:

${ displaystyle G '(t, a, b) = { frac {a} {(2 pi) ^ {- 1/2}}} (tb) e ^ { left ({ frac {- (tb) ) ^ {2}} {2a ^ {2}}} оң)} ,}$

«Ана-вейллет» таңдалғаннан кейін, үздіксіз вейвлет түрлендіруі үздіксіз, шаршы-интегралданатын функция масштабтауға және аударуға болады. Келіңіздер ${ displaystyle a> 0}$ масштабтау тұрақтысы және ${ displaystyle b in mathbb {R}}$ вейвлет сигнал бойынша аудармасы:

${ displaystyle X_ {w} (a, b) = { frac {1} { sqrt {a}}} int _ {- infty} ^ { infty} x (t) psi ^ { ast } солға ({ frac {tb} {a}} оңға) , dt}$

қайда ${ displaystyle psi (t)}$ - бұл уақыттық доменде де, аналық толқын және деп аталатын жиіліктік аймақта да үздіксіз функция ${ displaystyle ^ { ast}}$ әрекетін білдіреді күрделі конъюгат.

Есептеу арқылы ${ displaystyle X_ {w} (a, b)}$ ана-вейвлет туындысы болып табылатын келесі толқындар үшін сингулярлықты анықтауға болады. Кезекті туынды толқындар максималды мүмкіндік беретін сигналдағы төменгі ретті терминдердің үлесін жояды ${ displaystyle h_ {i}}$ анықталуы керек. (Есіңізде болсын, туындыларды қабылдау кезінде төменгі ретті шарттар 0 болады.) Бұл «модуль максимумдары».

Осылайша, бұл әдіс сингулярлық спектрін әр түрлі масштабта және уақытты есепке алуда сигналды вейвлетпен айналдыру арқылы анықтайды.

Содан кейін WTMM өндіруге қабілетті^{[бұлыңғыр ]} масштаб пен уақыт кеңістігін фракталдық өлшем бойынша бөлетін «қаңқа».

Тарих

WTMM 1980 жылдары пайда болған үздіксіз вейвлет түрлендірулерінің кең өрісі және оның қазіргі заманғы фракталдық өлшемдері негізінде жасалған.

Оның мәні бойынша, бұл қораптардың орнына әр түрлі масштабтағы толқындар қолданылатын фракталдық өлшемді «сандықты санау» әдістері мен үздіксіз вейвлет түрлендірулерінің жиынтығы.

WTMM бастапқыда Mallat және Hwang 1992 жылы жасалған және кескінді өңдеу үшін қолданылған. [1]

Бакри, Музи және Арнеодо бұл әдістеменің алғашқы қолданушылары болды. [2][3] Кейіннен ол сигналдарды өңдеуге қатысты өрістерде қолданылды.

Әдебиеттер тізімі

• Ален Арнеодо және т.б. (2008), Scholarpedia, 3(3):4103. [4]
• Сигналды өңдеу бойынша Wavelet туры, Стефан Маллат; ISBN  012466606X; Academic Press, 1999 ж [5]
• Маллат С .; Hwang, W.L., «Толқындармен сингулярлықты анықтау және өңдеу» Ақпараттық теория бойынша IEEE транзакциялары, 38 том, 2 нөмір, 617–643 беттер, 1992 ж. наурыз дои:10.1109/18.119727 [6]
• Арнеодо Wavelets [7]
• Музи, Дж. Ф .; Бакри, Э .; Арнеодо, А. (1991-12-16). «Сингулярлық сигналдарға арналған толқындар және мультифракталдық формализм: турбуленттік мәліметтерге қолдану». Физикалық шолу хаттары. Американдық физикалық қоғам (APS). 67 (25): 3515–3518. Бибкод:1991PhRvL..67.3515M. дои:10.1103 / physrevlett.67.3515. ISSN  0031-9007. PMID  10044755.
• Музи, Дж. Ф .; Бакри, Э .; Арнеодо, А. (1993-02-01). «Фракталдық сигналдар үшін мультифракталдық формализм: құрылым-функционалды тәсіл, вейвлет-түрлендіру модулі-максимум әдісі» (PDF). Физикалық шолу E. Американдық физикалық қоғам (APS). 47 (2): 875–884. Бибкод:1993PhRvE..47..875M. дои:10.1103 / physreve.47.875. ISSN  1063-651X. PMID  9960082.