Weyr канондық түрі - Weyr canonical form - Wikipedia

Суретте әрқайсысы негізгі Вейр матрицасы болып табылатын екі блоктан тұратын жалпы Вейр матрицасының мысалы келтірілген. Жоғарғы сол жақ бұрыштағы негізгі Weyr матрицасы (4,2,1), ал екіншісі (2,2,1,1) құрылымына ие.

Жылы математика, жылы сызықтық алгебра, а Weyr канондық түрі (немесе, Weyr нысаны немесе Вейр матрицасы) Бұл квадрат матрица белгілі бір шарттарды қанағаттандыру. Квадрат матрица деп аталады жылы Вейр канондық форма егер матрица Вейрдің канондық формасын анықтайтын шарттарды қанағаттандырса. Вейр формасын ашқан Чех математик Эдуард Вейр 1885 ж.[1][2][3] Вейр формасы математиктер арасында танымал бола алмады және оны атымен белгілі бір-біріне жақын, бірақ ерекше, канондық форма көлеңкеде ұстады. Иорданияның канондық түрі.[3] Вейр формасы 1885 жылы Вейрдің алғашқы ашылуынан бастап бірнеше рет қайта ашылды.[4] Бұл форма әртүрлі деп аталды өзгертілген Иордания формасы, қайта ұйымдастырылған Иордания формасы, екінші Иордания формасы, және H-нысаны.[4] Қазіргі терминология Шапироға жарияланған, оны оны мақаласында енгізген Американдық математикалық айлық 1999 ж.[4][5]

Жақында Weyr матрицасына бірнеше қосымшалар табылды. Вейр матрицасын зерттеуде қолдану ерекше қызығушылық тудырады филогенетикалық инварианттар жылы биоматематика.

Анықтамалар

Weyr негізгі матрицасы

Анықтама

Weyr негізгі матрицасы өзіндік құндылық болып табылады матрица келесі формада: a бар бөлім

туралы бірге

осылай, қашан ретінде қарастырылады матрицалық блок , қайда блок болып табылады матрица, келесі үш ерекшелік бар:

  1. Басты диагональ блоктар болып табылады скалярлық матрицалар үшін .
  2. Ең бірінші супердиагональды блоктар толды баған дәрежесі матрицалар қысқартылған қатарлы эшелон формасы (яғни сәйкестік матрицасы содан кейін нөлдік жолдармен) .
  3. Барлық қалған блоктар W нөлге тең (яғни, қашан ).

Бұл жағдайда біз мұны айтамыз Weyr құрылымына ие .

Мысал

Төменде Вейрдің негізгі матрицасының мысалы келтірілген.

Құрылымы бар негізгі Weyr матрицасы (4,2,2,1)

Бұл матрицада және . Сонымен Weyr құрылымына ие . Сондай-ақ,

және

Жалпы Вейр матрицасы

Анықтама

Келіңіздер квадрат матрица бол және рұқсат ет жеке меншіктері болуы керек . Біз мұны айтамыз егер Weyr түрінде болса (немесе Weyr матрицасы болса), егер келесі формасы бар:

қайда меншікті мәні бар негізгі Weyr матрицасы үшін .

Мысал

Төмендегі суретте үш негізгі Weyr матрицалық блоктарынан тұратын жалпы Weyr матрицасының мысалы келтірілген. Жоғарғы сол жақ бұрыштағы негізгі Weyr матрицасында өзіндік мәні 4-ке тең құрылым (4,2,1), ортаңғы блокта -3 мәнді құрылым (2,2,1,1), төменгі оң жақта орналасқан. бұрышы 0 мәнімен (3, 2) құрылымға ие.

WeyrMatrixExample02.jpg

Вейр мен Иордания арасындағы қатынас

Вейрдің канондық формасы Иордания формасымен байланысты қарапайым ауыстыру арқылы әрбір Weyr негізгі блогы үшін келесідей: әрбір Weyr субблогының бірінші индексі ең үлкен Иордания тізбегін құрайды. Осы жолдар мен бағандарды сызып тастағаннан кейін, әрбір жаңа подблоктың бірінші индексі екінші үлкен Джордан тізбегін құрайды және т.б.[6]

Weyr формасы канондық болып табылады

Weyr формасы матрицаның канондық түрі екендігі келесі нәтиженің салдары болып табылады:[3] Әрбір квадрат матрица алгебралық жабық өрістің үстінде Вейр матрицасына ұқсас бұл оның негізгі блоктарын ауыстыруға дейін бірегей. Матрица Weyr (канондық) формасы деп аталады .

Вейрдің канондық формасын есептеу

Нилпотентті жағдайға дейін азайту

Келіңіздер квадрат матрица болуы астам алгебралық жабық өріс және меншікті мәндеріне жол беріңіз болуы . The Джордан - Шевалли ыдырауы теоремада болып табылады ұқсас форманың блоктық диагональды матрицасына

қайда Бұл қиғаш матрица, Бұл матрица, және , қысқартуды негіздейді ішкі блоктарға . Сондықтан азайту мәселесі Weyr формасы нилпотентті матрицаларды азайту мәселесіне дейін азаяды Вейр формасына Бұл жалпылауға әкеледі өзіндік кеңістік ыдырау теоремасы.

Нейпотентті матрицаны Вейр формасына келтіру

Нильпотентті квадрат матрица берілген тәртіп алгебралық жабық өріс үстінде , келесі алгоритмде кері матрица пайда болады және Weyr матрицасы осындай .

1-қадам

Келіңіздер

2-қадам

  1. Есептеу а негіз үшін бос орын туралы .
  2. Нөлдік кеңістігінің негізін кеңейтіңіз үшін негізге -өлшемді векторлық кеңістік .
  3. Матрицаны құрыңыз осы векторлардан тұрады.
  4. Есептеу . - бұл квадрат матрица - нөлдік .

3-қадам

Егер нөлге тең емес, 2-қадамды қайталаңыз .

  1. Нөлдік кеңістігінің негізін есептеңіз .
  2. Нөлдік кеңістігінің негізін кеңейтіңіз өлшемі бар векторлық кеңістіктің негізіне - нөлдік .
  3. Матрицаны құрыңыз осы векторлардан тұрады.
  4. Есептеу . - бұл квадрат матрица - нөлдік - нөлдік.

4-қадам

Барған сайын кішірек квадрат матрицалар алу үшін 1 және 2-қадамдарды жалғастырыңыз және байланысты кері матрицалар бірінші нөлдік матрицаға дейін алынды.

5-қадам

Weyr құрылымы болып табылады қайда = нөлдік.

6-қадам

  1. Матрицаны есептеңіз (міне бұл сәйкестендірілген матрицалар).
  2. Есептеу . келесі формадағы матрица:
.

7-қадам

Айнымалы матрица табу үшін қатардағы қарапайым амалдарды қолданыңыз өнімге сәйкес келетін мөлшерде форманың матрицасы болып табылады .

8-қадам

Орнатыңыз диаграмма және есептеу . Бұл матрицада - бұғаттау .

9-қадам

Матрицаны табыңыз өнімі ретінде қалыптасқан қарапайым матрицалар осындай бұл блоктың үстіндегі барлық блоктар болатын матрица тек қамтуы керек .

10-қадам

8 және 9-қадамдарды бағанда қайталаңыз түрлендіру - бұғаттау арқылы конъюгация қайтымды матрица бойынша . Бұл блокты өнімнің конъюгациясы арқылы жоғарыдағы блоктарды жою үшін пайдаланыңыз қарапайым матрицалар.

11-қадам

Осы процестерді қайталаңыз арқылы бағыныңқылы сөйлемдерді қолдана отырып . Алынған матрица қазір Вейр түрінде.

12-қадам

Келіңіздер . Содан кейін .

Weyr формасының қосымшалары

Weyr формасының кейбір танымал қосымшалары төменде келтірілген:[3]

  1. Weyr формасы екі алгоритмнен туындайтын субальгебра екенін дәлелдейтін Герстенхабер теоремасының дәлелдеуін жеңілдету үшін қолданыла алады. матрицалар ең үлкен мөлшерге ие .
  2. Шекті матрицалар жиынтығы, егер оларды бір мезгілде диагоналдауға болатын матрицалармен байланыстыруға болатын болса, шамамен бір уақытта диагонализацияланатын деп аталады. Weyr формасы матрицалардың әр түрлі кластарының шамамен бір мезгілде диагонализациялануын дәлелдеу үшін қолданылады. Шамамен бір мезгілде диагоналдауға болатын қасиеттің зерттеу кезінде қосымшалары бар филогенетикалық инварианттар жылы биоматематика.
  3. Weyr формасы әртүрліліктің азайтылатындығының дәлелдерін жеңілдету үшін қолданыла алады к- күрделі матрицалардың командалары.

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Эдуард Вейр (1885). «Répartition des matrices en espèces et қалыптастыру de toutes les espèces» (PDF). Comptes Rendus, Париж. 100: 966–969. Алынған 10 желтоқсан 2013.
  2. ^ Эдуард Вейр (1890). «Zur Theorie der bilinearen Formen». Monatshefte für Mathematik und Physik. 1: 163–236.
  3. ^ а б c г. Кевин С. Меара; Джон Кларк; Чарльз Винсонгалер (2011). Сызықтық алгебрадағы жетілдірілген тақырыптар: Вейр формасы арқылы матрицалық есептерді тоқу. Оксфорд университетінің баспасы.
  4. ^ а б c Кевин С. Меара; Джон Кларк; Чарльз Винсонгалер (2011). Сызықтық алгебрадағы жетілдірілген тақырыптар: Вейр формасы арқылы матрицалық есептерді тоқу. Оксфорд университетінің баспасы. 44, 81-82 беттер.
  5. ^ Шапиро, Х. (1999). «Вейр сипаттамасы». Американдық математикалық айлық. 106 (10): 919–929. дои:10.2307/2589746. JSTOR  2589746.
  6. ^ Сергеичук, «Сызықтық матрицалық есептерге арналған канондық матрицалар», Arxiv: 0709.2485 [math.RT], 2007 ж