Zappa – Szép өнімі - Zappa–Szép product

Жылы математика, әсіресе топтық теория, Zappa – Szép өнімі (деп те аталады Zappa – Rédei – Szep өнімі, жалпы өнім, тоқылған бұйым немесе нақты факторизация) тәсілін сипаттайды а топ екеуінен тұрғызылуы мүмкін кіші топтар. Бұл жалпылау тікелей және жартылай бағыттағы өнімдер. Оған байланысты Гидо Заппа (1940) және Дженő Сеп (1950), бірақ оны басқалар, соның ішінде Б.Х. Нейман (1935), Г.А. Миллер (1935) және Дж. де Сегье (1904).^[1]

Ішкі Zappa – Szép өнімдері

Келіңіздер G топ болу сәйкестендіру элементі eжәне рұқсат етіңіз H және Қ топшалары болу G. Келесі тұжырымдар баламалы:

G = ХК және H ∩ Қ = {e}
Әрқайсысы үшін ж жылы G, бірегей бар сағ жылы H және бірегей к жылы Қ осындай g = hk.

Егер осы тұжырымдардың кез-келгені (демек, екеуі де) болса, онда G ішкі деп аталады Zappa – Szép өнімі туралы H және Қ.

Мысалдар

Келіңіздер G = GL(n,C), жалпы сызықтық топ туралы төңкерілетін n × n матрицалар үстінен күрделі сандар. Әр матрица үшін A жылы G, QR ыдырауы теңдесі жоқ екенін растайды унитарлық матрица Q және бірегей жоғарғы үшбұрышты матрица R бірге оң нақты негізгі жазбалар диагональ осындай A = QR. Осылайша G бұл Zappa-Szep өнімі унитарлық топ U(n) және топ (айт) Қ оң қиғаш жазбалары бар жоғарғы үшбұрышты матрицалар.

Мұның маңызды мысалдарының бірі Филип Холл 1937 ж. туралы теорема Sylow жүйелері үшін еритін топтар. Бұл кез-келген еритін топтың Zappa-Szep залы болып табылатындығын көрсетеді p '- топшасы және Sylow б- топ, және іс жүзінде бұл топ (Symp) ішкі топтарының белгілі бір жиынтығының Zappa – Szep өнімі болып табылады.

1935 жылы, Джордж Миллер тұрақты топшасы бар кез-келген тұрақты емес өтпелі ауысу тобы тұрақты топшаның Zappa-Szep өнімі және нүктелік тұрақтандырғыш екенін көрсетті. Ол мысал ретінде PSL (2,11) және ауыспалы 5-топты келтіреді, және әрине кез-келген ауыспалы қарапайым дәрежелер тобы мысал бола алады. Дәл осы жұмыста топтардың бірнеше мысалдары келтірілген, оларды Zappa-Szep өнімі ретінде енгізу мүмкін емес, мысалы, кватернион тобы және ауыспалы 6 дәрежелі топ сияқты.

Сыртқы Zappa – Szép өнімдері

Тікелей және жартылай бағыттағы өнімдер сияқты, белгілі емес топтарға арналған Zappa-Szép өнімнің сыртқы нұсқасы бар априори берілген топтың кіші топтары болу. Бұған түрткі болу үшін рұқсат етіңіз G = ХК ішкі топтардың ішкі Zappa-Szep өнімі болуы H және Қ топтың G. Әрқайсысы үшін к жылы Қ және әрқайсысы сағ жылы Hбар, α (к,сағ) H және β (к,сағ) Қ осындай х = α (к,сағ) β (к,сағ). Бұл анықтайды кескіндер α: Қ × H → H және β: Қ × H → Қ келесі қасиеттерге ие:

α (e,сағ) = сағ және β (к,e) = к барлығына сағ жылы H және к жылы Қ.
α (к₁ к₂, h) = α (к₁, α (к₂, з))
β (к, сағ₁ сағ₂) = β (β (к, сағ₁), сағ₂)
α (к, сағ₁ сағ₂) = α (к, сағ₁) α (β (к,сағ₁),сағ₂)
β (к₁ к₂, h) = β (к₁, α (к₂, h)) β (к₂h)

барлығына сағ₁, сағ₂ жылы H, к₁, к₂ жылы Қ. Осылардан мыналар шығады

Әрқайсысы үшін к жылы Қ, картаға түсіру сағ ↦ α (к,сағ) Бұл биекция туралы H.
Әрқайсысы үшін сағ жылы H, картаға түсіру к ↦ β (к,сағ) биекция болып табылады Қ.

(Шынында, α (к,сағ₁) = α (к,сағ₂). Содан кейін сағ₁= α (к⁻¹к,сағ₁) = α (к⁻¹, α (к,сағ₁)) = α (к⁻¹, α (к,сағ₂))=сағ₂. Бұл инъекцияны белгілейді, ал сурьбектілік үшін қолданады сағ= α (к, α (к⁻¹,сағ)).)

Нақтырақ айтсақ, жоғарыдағы алғашқы үш қасиет α картасын ұсынады: Қ × H → H Бұл сол жақтағы әрекет туралы Қ қосулы H және β: Қ × H → Қ Бұл дұрыс әрекет туралы H қосулы Қ. Егер сол әрекетті арқылы белгілесек сағ → ^ксағ және дұрыс әрекет к → к^сағ, содан кейін соңғы екі қасиет тең болады ^к(сағ₁сағ₂) = ^ксағ₁ ^{к^сағ₁}сағ₂ және (к₁к₂)^сағ = к₁^{^к₂сағ}к₂^сағ.

Мұны бұрап көрейік H және Қ топтар болып табылады (және рұқсат етіңіздер) e әр топтың сәйкестендіру элементін белгілеңіз) және α карталары бар делік: Қ × H → H және β: Қ × H → Қ жоғарыдағы қасиеттерді қанағаттандыру. Үстінде декарттық өнім H × Қ, көбейту және инверсиялық картаны сәйкесінше анықтаңыз

(сағ₁, к₁) (с₂, к₂) = (сағ₁ α (к₁, сағ₂), β (к₁, сағ₂) к₂)
(с, к)^{− 1} = (α (k^{− 1}, сағ^{− 1}), β (к^{− 1}, сағ^{− 1}))

Содан кейін H × Қ сыртқы деп аталатын топ болып табылады Zappa – Szép өнімі топтардың H және Қ. The ішкі жиындар H × {e} және {e} × Қ топшалар болып табылады изоморфты дейін H және Қсәйкесінше және H × Қ бұл, шын мәнінде, ішкі Zappa-Szép өнімі H × {e} және {e} × Қ.

Жартылай бағытты және тікелей өнімдермен байланыс

Келіңіздер G = ХК ішкі топтардың ішкі Zappa-Szep өнімі болуы H және Қ. Егер H болып табылады қалыпты жылы G, содан кейін α және β кескіндері сәйкесінше α (к,сағ) = k h k^{− 1} және β (к, сағ) = к. Мұны көру оңай, өйткені ${displaystyle (h_ {1} k_ {1}) (h_ {2} k_ {2}) = (h_ {1} k_ {1} h_ {2} k_ {1} ^ {- 1}) (k_ {1 } k_ {2})}$ және ${displaystyle h_ {1} k_ {1} h_ {2} k_ {1} ^ {- 1} in H}$ өйткені қалыпты жағдай бойынша ${displaystyle H}$ , ${displaystyle k_ {1} h_ {2} k_ {1} ^ {- 1} in H}$ . Бұл жағдайда, G -ның ішкі жартылай өнімі болып табылады H және Қ.

Егер қосымша, Қ жылы қалыпты G, содан кейін α (к,сағ) = сағ. Бұл жағдайда, G ішкі тікелей өнімі болып табылады H және Қ.

Әдебиеттер тізімі

^ Мартин В. Либек; Шерил Э. Праегер; Ян Саксл (2010). Қарапайым пермутациялық топтардың тұрақты кіші топтары. Американдық математикалық со. 1-2 беттер. ISBN 978-0-8218-4654-4.

Хупперт, Б. (1967), Endliche Gruppen (неміс тілінде), Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN 978-3-540-03825-2, МЫРЗА 0224703, OCLC 527050, Қап. VI, §4.
Michor, P. W. (1989), «Сызылған алгебралар мен топтардың тоқылған бұйымдары», Геометрия және физика бойынша қысқы мектептің материалдары, Срни, Қосымша. Rendiconti Circolo Matematico di Palermo, сер. II, 22: 171–175, arXiv:математика / 9204220, Бибкод:1992ж. ...... 4220М.
Миллер, Г.А. (1935), «Екі ауыспалы тиісті кіші топтардың өнімі болып табылатын топтар», Ұлттық ғылым академиясының материалдары, 21 (7): 469–472, Бибкод:1935PNAS ... 21..469M, дои:10.1073 / pnas.21.7.469, PMC 1076628, PMID 16588002
Сеп, Дж. (1950), «Екі кіші топтың өнімі ретінде ұсынылуы мүмкін топтардың құрылымы туралы», Acta Sci. Математика. Сегед, 12: 57–61.
Такэучи, М. (1981), «Хопф алгебраларының топтары мен бисмаш өнімдері сәйкес келеді», Комм. Алгебра, 9 (8): 841–882, дои:10.1080/00927878108822621.
Заппа, Г. (1940), «Sulla costruzione dei gruppi prodotto di due dati sottogruppi permutabili traloro», Atti Secondo Congresso Un. Мат Ital., Болония; Edizioni Cremonense, Рим, (1942) 119–125.
Агор, А.Л .; Чирваситу, А .; Ион, Б .; Милитару, Г. (2007), Шекті топтарға арналған факторизация мәселелері, arXiv:математика / 0703471, Бибкод:2007ж. ...... 3471А, дои:10.1007 / s10468-009-9145-6.
Брин, М.Г. (2005). «Zappa-Szep өнімі туралы». Алгебрадағы байланыс. 33 (2): 393–424. arXiv:математика / 0406044. дои:10.1081 / AGB-200047404.

[LiebeckPraeger2010-1] Мартин В. Либек; Шерил Э. Праегер; Ян Саксл (2010). Қарапайым пермутациялық топтардың тұрақты кіші топтары. Американдық математикалық со. 1-2 беттер. ISBN 978-0-8218-4654-4.

[1]